Дан прямоугольник abcd, о точка пересечения его диагоналей, известно что точкиa, b и о лежат в одной плоскости альфа, докозать что точки с и d также лежат в плосости альфа

Спринадлежит прямой ао и d принадлежит ав. а так как эти прямые пересекаются то согласно теореме через них проходит плоскость и притом только одна. следовательно точки с и d лежат в одной плоскости 

Прямая b либо лежит в плоскости α, либо параллельна ей. 1 вариант. b  ⊂  α.  через прямую a проводим плоскость  β. плоскость, проходящая через прямую параллельную другой плоскости, пересекает её по прямой, которая параллельна данной. или α  ∩  β по прямой b, которая параллельна  a, что соответствует условию. 2 вариант. b  ⊄  α. в плоскости α отмечаем прямую с  ║ а. по транзитивности, так как  α  ║ b и a  ║ c, то b  ║ c. c лежит в плоскости  α и  ║ b  ⇒ b  ║  α

рассмотрим ∆ квс. пусть кв=а, тогда вс=2а. 

биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

ко: со=кв: св=1: 2

по т. пифагора кс=√(kb*+cb*)=√(a*+4a*)=a√5 ⇒

ko=kc: 3=(a√5): 3

из ∆ окв по т. синусов 

ко: sin 45°=kb: sinbok 

откуда

ответ: arcsin 0,3√10. ( это синус 71,565° или 71°34')

можно найти длину биссектрисы во и затем найти косинус угла вок, (затем, если необходимо,  по известному тождеству  sina*+cosa*=1  вычислить синус того угла).