Точки a b c d не лежат в одной плоскости, доказать, что прямы ab и cd скрещиваются

Если прямые ав и cd скрещиваются, то точки а, в, с и d не лежат в одной плоскости. если бы прямые ac и bd пересекались или были бы параллельными, то эти точки лежали бы в одной плоскости. получаем противоречие. следовательно, прямые ас и bd - также скрещивающиеся.

пусть d, e и f - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника авс: ас, ав и вс соответственно.

нам дано: ав=30см, вf=14см, fc=12см.

заметим, что ве=вf=14см, dc=fc=12см, а ае=аd как касательные, проведенные из одной точки к окружности.

тогда ае=ав-ве=30-14=16см, значит аd=16см. dc=fc=12см.

значит ас=ad+dc=16+12=28см.

полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28): 2=42см.

есть формула для вписанной в треугольник окружности:

r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.

в нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.

ответ: r=8см.

или по формуле r=s/p, где s - площадь треугольника.

  площадь найдем по формуле герона:

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]   или в нашем случае: s=√(42*12*16*14)=√(6*7*2*6*16*2*7)=6*7*2*4=336см².

r=336/42=8см.

ответ: r=8см.

т.к. be=fe, то треугольник bef - равнобедренный, тогда < fbe=< efb. т.к. ab||fe, то < abf=< bfe(а значит =< fbe) как накрест лежащие, значит bf -биссектриса, и прямая fb делит угол < abc на два угла, отношение которых 1: 1. т.к. прямые af, fb и fc пересекаются в 1-ой точке, а одна из них(fb) -  биссектриса, делющая < abc на 2 угла, соотношение которых 1: 1, то и прямые fa и fc тоже биссектрисы, делющие < bac и < acb на 2 угла, соотношение которых также 1: 1.

ответ: в отношении 1: 1.