Знайдіть площу поверхні піраміди sabcd, якщо sa=sb=sc=sd=a, кут asb= кут bsc=кут csd=кут asd=60 градусів

даны координаты вершин пирамиды:

a (1; -2; 1) в (3; 1; -2) с (2; 2; 5) d (-2; 1; 0).

вычислить: 1) объем пирамиды.

вектор ав:     x       y   z

                        2     3   -3     модуль (длина) = √22   ≈   4,690416.

вектор ас:     x y       z

                        1   4   4     модуль (длина) = √33 ≈ 5,744563.

вектор aд:     x y z

                      -3 3 -1     модуль (длина) = √19 ≈ 4,358899.

объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:        

(ab{x1, y1, z1} ;   ac{x2, y2, z2} ;   ad{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения авхас.

подставив координаты точек, получим:

                    x     y         z

ab*ac =   ( 24       -11   5).

      ад=   ( -3         3         -1).

объём пирамиды равен:

v = (1/6)*|24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1)| = (1/6)*110 ≈ 18,3333.

2) длину ребра ab - дана выше ;

3) площадь грани abc равна половине векторного произведения авхас.   выше получили: ab*ac =   ( 24       -11   5).

s(abc) = (1/2)*√(24² + (-11)² + 5²) = (1/2)√722 ≈ (1/2)26,87006 ≈ 13,43503.

4) угол между ребрами ab и ad .

ab =     (2       3       -3),     |ab| = √22.

ад=   ( -3       3       -1),     |ad| = √19 .

скалярное произведение равно 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.

cos(ab∧ad) = 6/(√22*√19) = 6/√418   ≈ 6/20,44505   ≈ 0,29347.

угол равен 1,272942 радиан или 72,93421   градуса.

Параллелограмм abcd. по теореме косинусов в треугольнике авd квадрат стороны вd (диагональ параллелограмма) равен: bd² = ab²+ad²-cosa. по теореме косинусов в треугольнике аcd квадрат стороны ac (диагональ параллелограмма) равен: ac² = ad²+dc²-cos(180°-a). заметим, что dc=ав =2(стороны параллелограмма), угол < d = 180° - < a (углы при основании параллелограмма) и cos(180°-a)= -cosa. имеем: bd² = ab²+ad²-cosa = 20-16cosa. ac² = ad²+dc²-cos(180°-a) = 20+16cosa. bd/ac = √3/√7(дано) тогда bd²/ac² =3/7. подставляем значения и получаем: cosa = 0,5. значит < a = 60°. формула площади параллелограмма: s=a*b*sina = 8*0,866 = 6,928.