)даны точки а(4; -1; 3) и b(0; 5; -3) а)найдите координаты точки с- середины отрезка ав б)найдите координаты точки d, если отрезок db делится точками а и с на три равные части в)сравните расстояния от точки а до оси ординат и от точки в до плоскости oxz

8 сантиметров; 8 сантиметров; 12 сантиметров.

Объяснение:

Дано:

АВС — равнобедренный треугольник,

АВ : АС = 2 : 3,

периметр АВС равен 28 сантиметров.

Найти длины сторон треугольника АВС: АВ, ВС, АС — ?

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС. У него боковые стороны стороны равны между собой, тогда АВ = ВС.

Пусть длина стороны АВ равна 2 * х сантиметров, тогда длина стороны АС = 3 * х сантиметров. Нам известно, что периметр АВС равен 28 сантиметров. Составляем уравнение:

2 * х + 2 * х + 3 * х = 28;

7 * х = 28;

х = 28 : 7;

х = 4 сантиметров;

2 * 4 = 8 сантиметров — длина АВ и ВС;

3 * 4 = 12 сантиметров — длина АС.

См. чертеж.

Построенные окружности "демонстрируют" скрытые связи, которые есть в конструкции. Если их мысленно убрать, получится построение из условия задачи.

Так как EC перпендикулярно AB, точка Е лежит на окружности. построенной на BC, как на диаметре, и центром этой окружности будет середина BC - точка O. Точно также - точка D. Аналогично, L - середина BE, H - середина CD.

Первое. Я собираюсь доказать, что FE = DG; но делать я это буду "через Китай". Пусть точка K - середина ED. Если удастся доказать, что K лежит на радикальной оси окружностей (BFE) и (DGC), то из этого автоматически будет следовать FE = DG

Про радикальную ось этих окружностей известно две вещи. Во-первых, она перпендикулярна линии центров LH; во-вторых, она проходит через точку A, поскольку точка A - радикальный центр всех трех окружностей, изображенных на чертеже. В самом деле, AB и AC - радикальные оси пар окружностей (BFE) (BCED) и (DGC) (BCDE), а значит, их общая точка имеет равные степени относительно (BFE) и (DGC) (я повторил доказательство теоремы о радикальном центре).

Таким образом, задача свелась к тому, что надо доказать перпендикулярность AK и LH.

Треугольники ADE и ABC подобны, => AO и AK - соответствующие медианы в подобных треугольниках (я пока не знаю, понадобится ли это для решения).

Четырехугольник KHOL - параллелограмм Вариньона для четырехугольника BEDC; его стороны параллельны BD и CE и равны их половинам. => ∠KHO = ∠BAC; (стороны этих углов взаимно перпендикулярны)  кроме того, KH = CE/2 = AC*sin(A)/2; HO = BD/2 = AB*sin(A)/2; то есть треугольники ABC и KHO подобны с коэффициентом sin(A)/2; => треугольник KHO подобен треугольнику EAD, Стороны их одинаково ориентированы (см чертеж, например, ясно, что при повороте на "минус" 90°, то есть по часовой стрелке, и каком-то сдвиге и сжатии, соответствующие стороны переходят друг в друга, EA -> KH; AD -> HO;) => существует поворотная гомотетия, переводящая EAD -> KHO, при этом угол поворота равен 90°, поскольку стороны взаимно перпендикулярны. Ясно, что при этом AK -> HP (Р - точка пересечения диагоналей параллелограмма KHOL, и => середина KO и HL); поэтому AK перпендикулярно HP чтд.

Итак, K лежит на радикальной оси окружностей (BFE) и (DGC), и поскольку KE = KD, EF = DG; (в переводе на "человеческий" язык это означает вот что - у точки K - середины DE, - равны степени относительно этих окружностей, то есть KG*KD = KF*KE; поскольку KE = KD, KF = KG; => EF = DG;)

по условию FG = 7; DE = 3; => EF = DG = 2;