Впрямом параллелепипеде диагонали образуют плоскостью основания углы 45 и 60.стороны основания равны 17 и 31 см. вычислите диагонали этого параллелепипеда

Пусть диагонали основания (не параллелепипеда) m и n, а высота (она же боковая сторона) h,тогда h = m*tg(60) = n*tg(45); тот есть m*корень(3) = n (и равно = h); теперь смотрим на основание. параллелограмм, у него стороны 17 и 31, и отношение диагоналей m/n = корень(3). обозначим острый угол a. тогда n лежит напротив него (а m - напротив тупого угла 180 - а). m^2 = 17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(a); n^2 = 17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(a); (m/n)^2 = 3 =   (17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(a))/(17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(a)); 2*17*31*cos(a) = (17^2 + 31^2)/2; ( на первый взгляд кажется, что нам нужен угол а, но)) n^2 = h^2 = (17^2 + 31^2)/2 = 625; n = h = 25; m = n*корень(3) = 25*корень(3); d1 = n/cos(45) = 25*корень(2); d2 = m/cos(60) = 50;

по условию

-расстояние между параллельными прямыми 7 см - назовем ав

-одна из прямых удалена от ребра угла на 3 см - назовем вс

-расстояние от ребра угла до второй прямой х см - назовем ас

кратчайшее расстояние между между двумя параллельными прямыми 

  - это перпендикуляр , опущенный из любой точки одной прямой к другой.

образованная плоскость (авс) перпендикулярна   ребру двугранного угла и плоскости   y (так как она проходит через две прямые перпендикулярные ребру).

< вса -   линейный угол двугранного угла (по условию 60 град)

следовательно ,  в перпендикулярном сечении к этим плоскостям образуется треугольник авс со сторонами   ав =7 см (напротив угла 60 град) вс=  3 см и

  са= х см (расстояние от ребра угла до второй прямой.)

тогда   по теореме косинусов

 

7^2 = 3^2 + x^2 -2*3*x*cos60

49= 9 +x^2 -6x*1/2 =  9 +x^2 -3x

x^2 -3x -40 =0

решим квадратное уравнение

d = 9+160=169   ;   √d=13 

x= )+-13)/2

x1=-5   не подходит , по смыслу х> 0

x2= 8 

 

ответ   8 см

обозначим трапецию буквами abcd, где ad - нижнее основание, bc - верхнее основание. пусть ad=a, bc=b. опустим высоту из точки с на основание ad. пусть сo - высота трапеции. так как трапеция равнобокая, то есть ab=cd, а ее диагонали пересекаются под прямым углом, то ac=bd, а угол cad=45 градусов. рассмотрим треугольник cao. он прямоугольный, а так как угол cad=45 градусов, то угол aco=45 градусов и co=ao

найдем чему равно ao:

ao=ad-od

так как трапеция равнобокая, то

od=(ad-bc)/2=(a-b)/2

ao=ad-od=a-(a-b)/2=(a+b)/2 (а это и есть формула средней линии), то есть

ao=co=10см

ответ: средняя линия равна 10см.