Решить по ! дан треугольник abc. плоскость, параллельна прямой ас, пересекает сторону ав в точке а1, а сторону вс- в точке с1. вычислите длину отрезка аа1, если вс: вс1=9: 5, ab=27cм.

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.  плоскость, параллельная ас, пересекает треугольник по прямой, параллельной   ас,и делит стороны ав и вс на пропорциональные отрезки   согласно теореме фалеса: отрезки, высекаемые параллельными прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам на другой прямой.  т.е. вс : вс1=ав : ва1   вся ав=27=9 частей. одна ее часть из 9 равна 27 : 9= 3см   ва1=5 частей  ва1=3*5=15см

Окружность  (x-6)^2 + (y-9)^2 = 225 имеет центр q(6, 9)  и радиус r = 15. окружность  с  центром p(-2; 3)  и радиусом r задается  уравнением (x+2)^2  + (y-3)^2 = r^2 если  эти  две окружности касаются друг друга в 1 точке, то система имеет  только  одно решение. {  (x-6)^2 + (y-9)^2 = 225 { (x+2)^2 + (y-3)^2 = r^2 раскроем  скобки {  x^2  - 12x + 36 + y^2 - 18y + 81 = 225 {  x^2  + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = r^2 { x^2 - 12x + y^2 - 18y = 225 - 36 - 81 = 108 { x^2 + 4x + y^2 - 6y = r^2  -  4  -  9  =  r^2  -  13  вычтем  из  2 уравнения 1  уравнение 4x  - 6y + 12x + 18y = r^2 - 13 - 108 16x  +  12y = r^2 - 121 = (r -  11)(r  +  11) очевидно,  максимальный  радиус равен 11

Если  один  острый  угол  в  прямоуг.  тр-ке  =х,  то  второй  угол  равен  (90-х). биссектриса  делит  прямой  угол  на  два  угла  по  45  градусов,  и  на  два  треуг-ка.в  одном  из  треуг-ков  углы  равны  х град.,  45 град.  и  третий угол (между биссектрисой и гипотенузой)   180-45-х=135-х. второй  угол  между  биссектрисой  и  гипотенузой  явл.  смежным  с  углом  (135-х),  тогда  он  равен  180-(135-х)=45+х. проверить  можно  так. во  втором  треуг-ке  углы  равны  (90-х)  град.,  45  град.  и  третий  угол 180-45-(90-х)=45+х.