Впараллелограмме mnpk диагонали пересекаются в точке о. 1) докажите что треугольник мок равен треугольнику роn 2) известно что мр=12, nk=8 cm. mk=6см. найдите периметр треугольника мок.

1) угол мok= углу pon(так как они вертикальные) ko=no и po=om( так как в параллелограмме точкой пересечения диагонали делятся пополам) из этого следует то что эти треугольники равны, по 1 признаку равенства треугольников

1) пусть дана равнобедренная трапеция авсд (ад - большее основание, вс -меньшее). тогда по условию разность углов с и а равна 36. но угол с = угол в (равнобед).

значит в-а=36. по свойству односторонних углов а+в=180. решаем систему 

больший угол равен 108.

 

2) по теореме косинусов  25+9-2*5*3*(-0,5)=49.

значит, ас=7.

 

3) рисунок к во вложении. извиняюсь за качество - рисовал на планшете.

угол авд=69-вписанный равен половине дуги ад,   дуга ад = 2*69=138.

угол сад=67-вписанный равен половине дуги сд,   дуга сд = 2*67=134.

угол авс-вписанный равен половине дуги ас=ад+дс,   дуга ас =138+134=272.

значит, угол авс=272: 2=136.

вот ничего , "пятиминутка" : ) (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут)

пусть м - точка пересечения диагоналей.

угол вма = угол cad + угол bda;

угол саd = угол сав (ас - биссектриса);

угол сав = угол cdb;

поэтому угол вма = угол cda;

конечно, угол сва = 180 - угол cda = угол dma;

если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны.

осталось выразить площадь четырехугольника через диагонали

s = bd*ac*sin(ф)/2 (ф = угол вма = угол cda = 180 - угол сва = 180 - угол dma) - это легко получить,   просто сложив (md*am + mb*am + mb*mc + mc*md)*sin(ф)/2;

и - то же самое - через стороны четырехугольника

s = (cd*ad + ab*bc)*sin(ф)/2;  

отсюда сразу получается нужное соотношение.