Резервуар для воды состоит из полушара радиуса r и цилиндра с таким же радиусом основания. какой высоты h должна бытьцилиндрическая часть его, что бы объем всего резервуара равнялся 500м3? (r=250см.)

v = 500м3

r= 250 см = 0.25 м

объем шара =4/3*pir^3

объем полушара vш=1/2*4/3*pir^3=2/3*pir^3

объем цилиндра vц=h*sосн=h*pi*r^2

объем резервуара

v=vш+vц =  2/3*pir^3 +h*pi*r^2

высота цилиндра

h = (v-2/3*pir^3) /(pi*r^2)

подставим числа из условия

h= (500 - 2/3*pi*0.25^3) /(pi*0.25^2)  =  2546.31 м

 

ответ высота  2546.31 м

 

если взять куб abcda1b1c1d1, то фигура с вершинами a1bc1d - правильный тетраэдр. поэтому проекция точки с1 на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - пусть это точка q1. 

у пирамиды aa1bd основание a1bd - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). поэтому проекция точки a  на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - точка q1. поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости a1bd и проходящая через заданную точку   q1 - центр треугольника a1bd, то ac1 перпендикулярно a1bd.

что и требовалось доказать.

если провести еще одну плоскость - b1d1c, то она тоже перпендикулярна ac1 (доказывается точно так же, пусть центр треугольника b1d1c - точка q2), то есть параллельна плоскости bda1.

поэтому эти две плоскости (поскольку они параллельны) отсекают на разных прямых пропорциональные отрезки. то есть aq1/q1q2 = am/mc (м - центр грани abcd) и q1q2/q2c1 = a1m1/m1c1 (м1 - центр грани a1b1c1d1).

поэтому плоскости a1bd и b1d1c делят ac1 на три равных отрезка.

что и требовалось доказать.  

Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности. площадь основания можно вычислить по формуле герона: s=√(p(p-a)(p-b)(p- где р=(a+b+c)/2. подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим s=84 см. радиус вписанной окружности: r=s/p=2s/(a+b+c). r=2·84/(13+14+15)=4 см.  высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника. в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме пифагора равна: h=√(l²-r²), где l- апофема  пирамиды (равна радиусу шара). h=√(5²-4²)=3 см - это ответ.