Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 3 и 4. при этом создает угол с этой стороной 60 градусов. найти длину биссектрисы.

Отношение боковых сторон равно 3/4, поэтому их длины можно записать, как 3*х и 4*х, где х - неизвестная величина.  теперь по теореме косинусов можно выразить длины этих сторон через длину биссектрисы l  и отрезки основания 3 и 4. l^2 + 3^2 - 3*l = 9*x^2; l^2 + 4^2 + 4*l = 16*x^2; (учтено, что cos(60°) = 1/2; cos(120 °) = -1/2)16*(l^2 + 3^2 - 3*l  ) = 9*(l^2 + 4^2 + 4*l); это даже не квадратное уравнение  (кстати, это можно было предвидеть заранее, так как l = 0 очевидно является решением) 7*l^2 - (48 + 36)*l = 0; l^2 - 12*l = 0; l = 12.

Ромб авсд, уголв=уголд, угола=уголс, уголс=1/2уголд, уголд=2*уголс, уголс+уголд=180, 3*уголс=180, уголс=угола=180/3=60, уголд=уголв=2*60=120, ам=мд=х, ад=2*ам=2х=вс=ав=сд, со=од=х, площадь треугольника всо=1/2*вс*со*sinс=1/2*2х*х*корень3/2=х в квадрате*корень3/2, площадьтреугольника одм=1/2*од*мд*sinд=1/2*х*х*корень3/2=х в квадрате/4, площадь треугольника авм=1/2*ав*ам*sinа=1/2*2х*х*корень3/2=х в квадрате*корень3/2, площадь авсд=ав в квадрате*sinа=2х*2х*корень3/2=2*х в квадрате*корень3, площадь треугольника вмо=площадьавсд-площадь авм-площадь-всо-площадь одм=2*х в квадрате-(х в квадрате*корень3/2) -(х в квадрате*корень3/ в квадрате*корень3/4)=3*х в квадрате*корень3/4, 3√з =  3*х в квадрате*корень3/4, х в квадрате=4, х=2, ав=ад=сд=вс=2*2=4, площадь авсд=4*4*корень3/2=8*корень3

Если есть стороны a b и медиана  m1  к третьей стороне c, то можно  достроить этот треугольник до параллелограмма, если продолжить медиану на свою длину (за точку пересечения со стороной c), и соединить полученную точку с концами a и  b. в этом параллелограмме диагонали с и 2*m1, а стороны a и  b.  теперь очевидно, что a + b >   2*m1; точно так же показывается b +  c > 2*m2; a + c > 2*m3; если сложить левые и правые части этих неравенств, получается требуемое неравенство (a + b + c) > (m1 + m2 + m3);