Докажите что четырехугольник psqt, заданный координатами своих вершин p(3; 0), s(-1; 3), q(-4; -1), t(0; 4), является квадратом и вычислите его площадь.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1; y2-y1}. модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). у нас |ps|=√[(-1-3)²+(3-0)²]=√25=5. |sq|=√[(-4+1)²+(-1-3)²]=√25=5. |pt|=√[(0-3)²+(4-0)²]=√25=5. векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2. у нас (ps*sq)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора ps и sq перпендикулярны. (ps*pt)=(-4)*(-3)+3*4=24, то есть вектора ps и sq  не перпендикулярны. видимо, в условии ошибка. точка т должна иметь координаты т(0; -4). и тогда вектор |pt|= √[(0-3)²+(-4-0)²]=√25=5. (ps*pt)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора ps и pt перпендикулярны. этого достаточно, чтобы сказать, что четырехугольник psqt - квадрат. но для проверки координат точки т(0; -4) найдем модуль вектора |qt|=√[(0+4)²+(-4+1)²]=√25=5. (sq*qt)=(-3)*(4)+(-4)*(-3)=0, то есть вектора ps и pt перпендикулярны. ответ: четырехугольник psqt квадрат, при условии, что вершины имеют координаты: p(3; 0), s(-1; 3), q(-4; -1), т(0; -4).

обозначим буквами и получим треугольник авс. ас (катет)= 12, вс (гипотенуза)= 13, найдем ав по теореме пифагора:

ас2  = ав2  + вс2

122 = ав2  + 132

144 = ав2  + 169

ав2  = 169 - 144

ав2  = 25

ав = ±  √  25 = ±  5, -5 не имеет значения в данной , ⇒  ав = 5.

s  треуг = ½  a  *  h

в треугольнике авс а (катет) = 12,  h  = 5.

s  треуг = ½ * 12 * 5 = 30 см2  – площадь прямоугольного треугольника.

 

ответ: 30.

Дано:

усеченный конус

r = O₁B = 5 см

R = OA = 11 см

см

-----------------------------

Найти:

Sсеч - ?

1) Проведем BH⊥AO.

  OH = O₁B = r = 5 см

  AH = OA - OH = R - r = 11 см - 5 см = 6 см

2) Рассмотрим ΔAHB:

   BH⊥AO        |  ⇒ ΔAHB - прямоугольный

   ∠AHB = 90° |

   AB² = AH² + HB² - по теореме Пифагора, следовательно:h = BH = OO₁ = 8 см

3) Равнобедренная трапеция ABCD является осевым сечением данного усеченного конуса:

4) В трапеции ABCD:

   AD = 2AO = 2R = 2×11 см = 22 см      h = BH= 8 см

   BC = 2BO₁ = 2r = 2×5 см = 10 см

5) Тогда площадь трапеции равна:

⇒

Sсеч = = 128 см²

ответ: Sсеч = 128 см²

P.S. Рисунок показан внизу↓