Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4 см больше радиуса вписанной окружности . найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника .

R=a*корень3/4, r=a*корень3/6, r-r=(a*корень3/4) -(a*корень3/6)=a*корень3/12, a*корень3/12=4, a*корень3=48, a=16*корень3 -сторона треугольника, r=16*корень3*корень3/4=12 -  радиус описанной, r=16*корень3*корень3/6=8 - радиус вписанной   

Чертеж во вложении. 1) проведем высоту сс1 к основанию ав и биссектрису аа1 к боковой стороне вс. 2) расмотрим треугольник асс1. пусть на одну часть приходится х см, тогда ас1=2х (высота равнобедр тр-ка, проведенная к оснвоанию является медианой) и ас=3х. сс1= 30 (по усл). по т. пифагора , то есть на одну часть приходится см. значит, см см 3) так как сс1- высота, аа1- биссектриса и ас=вс, то пусть ос1=х, тогда т.к. сс1=30, со=30-х. подставим в пропроцию:   разделим на : 5x=60 x=12, то есть ос1= 12 см. тогда ос=30-12=18 см. ответ: 12 см, 18 см.

Авсм - параллелограмм,  т.к.  ао=ос,  во=ом,  точка о - середина стороны ас.  (признак параллелограмма:   если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам,  то это параллелограмм) значит  амiibc, аналогично,  acbn - параллелограмм,  а значит aniibc.  через точку а  проходят две прямые,  параллельные третьей.  по аксиоме параллельности прямых  они .  т.е.  точки  n,m,a лежат на одной прямой.