Найдите радиус окружности, описанной около треугольника авс, если ав=14 см, угол а=3 угол с и угол в=2 угол с.

Найдем углы треугольникаавс. пусть уголс=х, тогда угола=3х, уголв=2х. х+3х+2х=180 6х=180 х=30градусов (уголс) угола=3*30=90градусов уголв=2*30=60градусов данный треугольник прямоугольный, значит центр описанной окружности лежит на гипотенузе вс (т.к. против большего угла лежит больная сторона) катет ав=14см лежит против углас=30градусов, значит он равен половине гипотенузы вс. вс=14*2=28см вс - диаметр описанной окружности => радиус=28: 2=14см.

1. осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

из прямоугольного треугольника abd:

ad = ac · sin 30° = 8 · 1/2 = 4 см - высота цилиндра,

ab = ac · cos 30° = 8 · √3/2 = 4√3 см - диаметр основания.

r = 1/2 ab = 2√3 см

v = sосн · h = πr²h = π · (2√3)² · 4 = π · 12 · 4 = 48π см³

2. пусть н - середина хорды ав, тогда он - медиана и высота равнобедренного треугольника аов (оа = ов как радиусы).

значит он = 4 см - расстояние от оси до хорды.

он - проекция сн на плоскость основания, значит сн⊥ав по теореме о трех перпендикулярах.

сн = 13 см - расстояние от центра верхнего основания до хорды.

δсон: ∠сон = 90°, по теореме пифагора:

            со = √(сн² - он²) = √(13² - 4²) = √(169 - 16) = √153   = 3√17 см - высота цилиндра.

δонв: ∠онв = 90°, нв = 1/2 ав = 3 см, он = 4 см, египетский треугольник, ⇒ ов = 5 см - радиус основания.

итак, r = 5 см, h = 3√17 см,

v = sосн · h = πr²h = π · 5² · 3√17 = π · 25 · 3√17 = 75√17π см³

3. сечение цилиндра, параллельное оси - прямоугольник.

пусть н - середина ав, тогда он - медиана и высота равнобедренного треугольника аов (оа = ов как радиусы).

значит он = 4 см - расстояние от оси до сечения.

δаон: ∠ано = 90°, он = 4 см, оа = 5 см, египетский треугольник, ⇒

ан = 3 см, а ав = 6 см.

δавс: ∠авс = 90°, по теореме пифагора

            св = √(ас² - ав²) = √((6√5)² - 6²) = √(180 - 36) = √144 = 12 см - высота цилиндра.

итак, r = 5 см, h = 12 см,

v = sосн · h = πr²h = π · 5² · 12 = π · 25 · 12 = 300π см³

4. провод имеет форму цилиндра, высота цилиндра - его длина.

r = d/2 = 1 мм = 0,001 м

масса провода:

m = v·ρ

v = m/ρ = 5,6 / (8,9 · 10³) = 56/89 · 10⁻³ м³

sосн = πr² = π · (10⁻³)² = π · 10⁻⁶ м²

v = sосн · h

h = v / sосн

h = 56/89 · 10⁻³ / (π · 10⁻⁶) = 56/(89π) · 10³ м ≈ 200 м

5. пятно имеет форму цилиндра с высотой 1 мм, объемом 1 м³.

v = 1 м³,

h = 1 мм = 10⁻³ м

sосн = v / h = 1 / 10⁻³ = 1000 м²

1)  найдем основания. 3х - меньшее основание; 5х - большее основание. 5х - 3х = 32 2х = 32 х = 32 : 2 х = 16 3 * 16 = 48 (см) - меньшее основание. 5 * 16 = 80 (см) - большее основание. найдем длину средней линии трапеции. она равна полусумме оснований. (48 + 80) : 2 = 128 : 2 = 64 (см) - длина средней линии трапеции. ответ: 64 см. 2) 40% = 0,4 х - большее основание; 0,4х - меньшее основание. х - 0,4х = 2,8 0,6х = 2,8 х = 2,8 : 0,6 х = 4 2/3 (см) - большее основание. (4 2/3) * 0,4 = 1 13/15 (см) - меньшее основание. (4 2/3 + 1 13/15) : 2 = (4 10/15 + 1 13/15) : 2 = (4 23/15) : 2 = 2 23/30 (см) - длина средней линии трапеции. ответ: 2 23/30 см.