Основания равнобедренной трапеции описанной около окружности равны 54 и 24. скольким сантиметрам равен радиус этой окружности?

если в трапецию можно вписать окружноть, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.

ab + cd = bc + ad

2ab = 54+24 = 78

ab = cd = 39 cм

опустим из точки в высоту на нижнее основание. высота трапеции равна диаметру окружности.   ae = (54 - 24)/2 = 15 см

be =  √39²-15² = 36 см

r = be/2 = 18 cм

 

для начала проведем в равнобедренном треугольнике высоту из вершины b, а точку пересечения со стороной ac обозначим k.  обозначим наш треугольник abc (с вершиной b). прямую, параллельную основанию, обозначим de. точку пересечения высоты и этой прямой назовём о.

из рисунка видно, что треугольники abk и dbo подобны (по равным углам при вершинах и двум сторонам db/ab=bo/bk). кроме всего прочего, оба треугольника - прямоугольные(углы dob=akb=90 градусов), а также углы bdo=bak=30 градусов.

решение:

1. найдём высоту bk. т.к. треугольник abc   - равнобедренный. то вы сота делит основание ac пополам, т.е. ak=kc=ac/2=n24/2 (значком "n" я буду обозначать корень).

чтобы найти высоту, составим угавнение, исходя из теоремы пифагора и правила, что напротив углав в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. пусть х - гипотенуза, тогда:

х^2=(n24/2)^2+(x/2)^2,

х^2-х^2/4-24/4=0,

х^2-x^2/4-6=0 (чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 4),

4х^2-x^2-24=0,

3х^2=24,

х^2=24/3,

х=n8 - гипотенуза ab.

2.  у подобных треугольников отношение площадей равно квадрату отношения длин сторон. коэффициент подобия наших трегольников abk и bod равен 2, т.к. прямая делит площадь треугольника пополам:

2 = s(abк)/s(bod) = (aв/db)^2т.е. db = ab/n2 (n - квадратный корень)db = n8/n2=n4=2.

ответ: сторона db, которую отсекает прямая, параллельная основанию, равна 2.

 

используется: 1)теорема пифагора2) значение катета, противолежащего углу 30 градусов. рассмотрим рисунок. в нем высота сн треугольника асв равна половине ас, как катет, противолежащий углу 30 градусов, и сн=9 сммн - расстояние от м до ав, измеряется отрезком, перпендикулярным к ав.угол мсн прямоугольный по условию ( мс⊥ плоскости асв)треугольник мсн - прямоугольный. по теореме пифагора находим мн.мн=√(12²+9²)=15 см- расстояние от м до аврасстояние от точки в до плоскости асм равно длине св, т.к. св⊥ас. так как угол при вершине с в треугольнике нсв равен 30 градусов ( угол в =60), то св=2нв3нв²=сн²= 81нв =√27=3√3св=2нв=6√3 - расстояние от в до плоскости асм