)1.найдите длину диагонали квадрата, площадь которого равна 20 см^2 2. дана прямоугольная трапеция авсd с большим основанием ad, m(угол а)=90 градусов. найдите длину высоты трапеции, если: ad=25 см, bc=cd=13 см. ^_^ раннее большое )

Сторона квадрата а=sqrt(20) две стороны квадрата и диагональ есть поямоугольный треугольник. тогда диагональ b=sqrt(20+20)=2sqrt(10) проведём высоту cc1. ac1=bc. c1d=25-13=12 . треугольник сс1d прямоугольный. сс1=sqrt(144+169) =sqrt(223).

я думаю рисунок начертишь.

параллелограмм, сумма всех углов равна 360 град, сумма углов при каждом основании равна 180 град. значит две биссектрисы, проведенный из углов при одном основании, образуют треугольник, сумма углов при основании которого равна 180/2 = 90 градусов. значит и третий угол akd тоже равен 90 град.

получается прямоугольный треугольник с известными катетами, найдем гипотенузу ad:

площадь треугольника akd равна катетов, то есть

6 * 10 / 2 = 30

высота треугольника akd совпадает с высотой параллелограмма.

площадь треугольника akd также равна высоты на основание. найдем высоту:

(из этой формулы уже можно найти площадь параллелограмма, если умножим уравнение на 2 получим, что площадь параллелограмма равна двум площадям треугольника.)

теперь находим площадь параллелограмма:

1)

hk перпендикулярна dm

δкнм - прямоугольный,  угол < dmh= 60 градусов

нм =нк / sin< dmh=√3/√3/2=2

dh- высота

δdнм - прямоугольный,  угол < dmh= 60 градусов

dh=hm*tg< dmh=2*tg60=2√3  <

dabc - правильная пирамида

основание - правильный треугольник  δавс -все стороны равны- все углы 60 град

bm -   медиана треугольника abc

hm=1/3*bm ;

bm=3*hm=3*2=6

стороны треугольника abc  ав=вс=са=вм/sin60=6/(√3/2)=12 / √3

площадь основания so=1/2*bm*ac=1/2*6*12/√3=36/√3

v (dabc) = 1/3*dh*so=1/3*2√3 *36/√3=24

ответ 24

2)

  abcda1b1c1d1 - правильная призма <

в основании правильный многоугольник -  квадрат

ас, bd - диагонали  =m    т.м  -точка пересечения

< с1мс=45  ;   < c1cm=90

треугольник   δс1мс - прямоугольный , равнобедренный

cm=cc1 =сh/sin< c1mc=4√2 / sin45 = 8

cc1=h=8 -высота призмы

см=8 - половина диагонали основания

диагональ основания d=ас=bd=2*см=16

сторона основания b=d/√2 = 16/√2

площадь основания  so=b^2 = (16/√2)^2=128

v (abcda1b1c1d1) = h*so = 8*128=1024

ответ v=1024

3)

  mabcd - правильная четырехугольная пирамида

  боковое ребро пирамиды a=am=bm=cm=dm=8

высота  h=mh=am*sinmah=8*√3/2=4√3

в основании  квадрат со стороной    b

диагонали квадрата  ac=bd=d

половина диагонали квадрата   d/2 =am*cosmah=8*1/2=4  ;

тогда d= 8

сторона квадрата/основания  b=d/√2 = 8/√2

площадь основания so=b^2=(8/√2)^2=32

объемv(mabcd) =   1/3*h*so=1/3*4√3*32=128√3 /3

апофема боковой грани 

h^2 = a^2-(b/2)^2 =8^2 -(8/√2 /2)^2=56

h=2√14

площадь одной боковой грани  s1=1/2*h*b=1/2*2√14*8/√2=8√7

sбок =4*s1 =4*8√7=32√7

боковые грани   (amd) и (dmc)- это равные равнобедренные треугольники

опустим высоты ck, ak  из вершин mcd,mad -соответственно

линейный угол < cka -  это угол между (amd) и (dmc)

в равных треугольниках  соответствующие высоты равны  ck = ak 

площадь боковой грани   (amd)   s1=1/2*ak*md  ; md=am=8

тогда  ak= 2*s1/md = 2*8√7 /8=2√7

т.к. ck = ak =2√7

треугольник  акс - равнобедренный

по теореме косинусов

ас^2 = ak^2+ck^2 - 2ak*ck*cos< cka

cos< cka = [ ас^2 - (ak^2+ck^2) ] / [- 2ak*ck] < значения

cos< cka = ( 8^2 - ((2√7)^2+(2√7)^2) ) / 2)*2√7*2√7) =-1/7

< cka = arccos (-1/7)= 1.714 рад =98.2 град =98 град

угол между (amd) и (dmc)  =98 град