Докажите что биссектрисы углов произвольного прямоугольника при пересечении образуют квадрат !

Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон. это можно сделать многими способами, например, так. квадрат отличается от произвольного прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей. то есть он переходит в себя при зеркальном отражении относительно прямой, проходящей через противоположные вершины.  легко увидеть, что: у полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон  исходного прямоугольника.  поскольку исходный прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и полученный при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей. то есть это квадрат.  я напоминаю, что совпадение фигур при смещении, повороте или зеркальном отражении - это определение равенства. самое первичное. так сказать, наиглавнейшее. поэтому это доказательство опирается только на определение равенства фигур и на свойства параллельных и секущей. 

Вравнобедренном треугольнике авс < c=< a. < dac=(1/2)*< a, так как ad - биссектриса. значит < dac=(1/2)*< c. в треугольнике adc < adb - внешний и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть < adb=< dac+< c или 1,5*< c=110°. тогда < c=110°: 1,5=73и1/3°=< a, a < b=180°-146и2/3°=33и1/3° (так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°). ответ: < a=< c=73и1/3°, < c=33и1/3°. p.s. стоило в условии дать < adb=111° и мы получили бы ответ: < a=< c=74°,a < b=32° !

Смотри файл.   в файле красным показаны не длины, а относительные части для справки. можно и без чевы и менелая, ну , если хотите их, тады да. по менелаю ам/мд * дв/вс * ск/ка =1 1/3 * 1/2 * ск/ка=1     откуда ск/ка=6/1     ( обозначим эти части зеленым ) теперь мысленно переворачиваем рисунок не вверх ногами, а вроде как листок для простоты восприятия  (см. файл) и опять- менелай вм/мк * ак/ас * сд/дв =1   откуда вм/мк * 1/7 * 1/1=1 вм/мк=7/1 вот и все.