Длины двух сторон треугольника равны 5 и 7, а угол между ними равен 120°. найдите длину биссектрисы, проведенной к третьей стороне треугольника.

По теореме косинусов находим длину третьей стороны c=sqrt(109) длина биссектрисы l находим по формуле: l=sqrt(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=sqrt(35*(144-109))/12=35/12 ответ: 35/12

Теорема шаля теорема шаля  классифицирует все  изометрические преобразования(движения) плоскости. её доказал и механик  мишель шаль  (1793—1880) всякое сохраняющее  ориентациюдвижение плоскости представляет собой либо  поворот  (в частности,  центральную симметрию), либо  параллельный перенос. всякое меняющее ориентацию движение плоскости является  осевой  или  скользящей симметрией. при обобщении на трёхмерное пространство формулировка даже : всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением. всякое меняющее ориентацию движение плоскости является композицией  симметрии относительно плоскости  и винтового движения. также теоремой шаля называют некоторые другие утверждения (см.  . статью,  [1]  или  [2]). доказательство основные идеи доказательства: любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами. любое движение представимо в виде  композиции  не более чем трех  осевых симметрий. перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трех осевых симметрий.

Теорема синусов      а         b         c = = = 2r, откуда а =  2rsinα  = 2  · 6√3  ·  sin60° = 12√3  ·  √3/2 = 18 sinα     sinβ     sinγ р = 3а = 3  · 18 = 54 2-й способ an = 2r  · sin(180°/n)  - формула для нахождения стороны правильного многоугольника а3 = 2r  · sin60° = 2r  ·  √3/2 = r√3 = 6√3  ·  √3 = 18 p = 3a  = 3  · 18 = 54