Точка к лежит на стороне вс параллелограмма abcd так, что ак - биссектриса угла bad. прямая км параллельна cd и пересекает сторону ad в точке p. найдите величину угла между прямыми pb и ak.

1)δавк равнобедренный, т.к. ак биссектриса  угол  вак=углу кар и угол вка = углу кар накрест лежащие значит углы вак и вка равны.значит ав=ак.

2) авкр параллелограмм ав параллельно кр(кр параллельно сд по условию, но сд параллельно ав)  ар параллельно вк.

из 1) и 2) получаем, что авкр это ромб ак и вр его диагонали, а диагонали ромба перпендикулярны ⇒угол между прямыми ак и вр 90 градусов

Заметьте, из знания ответа можно было бы догадаться, поскольку 7^2 + 14^2 = (7√5)^2; это сразу очевидно на самом деле, потому что все три треугольника abc, akc, bkc подобны, и в треугольниках akc и bkc роль гипотенуз выполняют катеты треугольника abc. (то есть a^2 + b^2 = c^2; где a, b, c - гипотенузы треугольников bkc; akc; abc) в общем случае в прямоугольном треугольнике r = (a + b - c)/2 = с*(a/c + b/c - 1)/2; в этих трех треугольниках a/c и b/c - одинаковые (обращаю внимание, что a, b, c, означают тут не то, то в первом пункте, а просто катеты и гипотенузу любого треугольника) то есть r = k*c; c одним и тем же числом k; (на самом деле это верно для любых подобных треугольников, но в данном случае доказательство не требует никаких усилий). если собирать оба утверждения вместе, получится r^2 = r1^2 + r2^2;

Япишу решение "вслепую", так что проверяйте потом. пусть o1 - центр окружности радиуса 4 (на ней пусть лежит точка a); o2 - центр второй окружности. тут кругом прямые углы. логичнее начать с пункта в) отрезки o1a и o2b оба перпендикулярны ab => o1a ii o2b; => ∠ao1p + ∠bo2p = 180°; это центральные углы дуг ap и bp; => ∠pab + ∠pba = 90°; => ∠apb = 90°; б) o1k - биссектриса ∠akp; o2k = биссектриса ∠bkp; половины этих углов в сумме составляют ∠o1ko2; то есть ∠o1ko2 = 90°; pk - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике o1ko2; и она делит гипотенузу на отрезки 4 и 11; поэтому pk^2 = 4*11 = 44; pk = 2√11 а) ab найти проще всего. из o1 надо провести прямую перпендикулярно o2b (и параллельно ab); получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 + 11 =15; и катетом 11 - 4 = 7; откуда ab^2 = 15^2 - 7^2 = 11*16; ab = 4√11; pk = ab/2; что совсем не удивительно (я тут нарочно схитрил, чтобы подольше понабирать решение.) дело в том, что pk - медиана в прямоугольном треугольнике apb, то есть pk = ab/2; сразу без всяких вычислений. но зато ответ получен двумя разными способами. можно выбирать, что считать и каким способом, pk или