На колі позначено точки a , b, с так, що ab-діаметр кола, хорду bc видно з центра кола під кутом 60 градусів. знайдіть радіус кола, якщо ab= √3 см

в данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) равны. проведем эти высоты al и ck. расстояния от точки d на основании ас - это отрезки dm и dn, параллельные высотам ck и al соответственно. прямоугольные треугольники акс и alc равны, так как ас - общая гипотенуза, катеты кс и al - равны и равны углы lac и кса (так как al и кс биссектрисы). итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники adm и akc, cdn и cal. из их подобия имеем следующие отношения:

1)кс/dm=ac/ad; 2)kc/dm=ac/dc. dm = 12-dn (дано) а  ad = ас-dc. подставляем и имеем:

из 1): kc/12-dn = ac/ac-dc отсюда kc*(ac-dc) = ac*(12-dn) далее kc*ac - kc*dc = 12ac - ac*dn. из 2): кс*dс = ac*dn. из второго вставляем в первое и получаем:

кс*ас - ас*dn = 12ас - ас*dn или кс*ас = 12ас. и окончательно кс = 12, что и надо было найти.

 

центр описанной окружности (о) есть точка пересечения серединных перпендикуляров.  рассмотрим треугольник мно где мо радиус, он -серединнай перпендикуляр, а мн - половина стороны треугольника(т к он -серединный перпендикуляр) о=90, м=60/2=30 (т к в равностороннем треугольнике все улы 60, а мо - биссектриса потому что высота в равностороннем треугольнике будет серединным перпендикуляром и биссектриссой )  отсюдаcosm=mh/mor=mo=mh/cosm=(8/2)/(корень из 3/2)=8*(корень из 3)

ответ  8*(корень из 3)