Средняя линия, параллельная большему катету, делит треугольник на два многоугольника, периметры которых пропорциональны 3 и 5. найдите отношение длин катетов. з

Понравилась  . с удовольствием порешела решение прикреплено

Язаранее прошу прощения за это решение, чего-то голова не работает сегодня. ясно, что 1) треугольник тупоугольный - потому что центр описанной окружности o лежит за пределами треугольника. 2) все симметрично относительно высоты треугольника, проведенной к основанию, и оба центра - k и o, лежат на прямой, содержащей эту высоту (ось симметрии). далее, фигура akbo - ромб, так как диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой e (ok по условию, а ab - в силу упомянутой симметрии). в ромбе диагонали - заодно и биссектрисы углов, поэтому ∠kao = ∠cab = 2*∠oab; (я напомню, что ak - биссектриса ∠cab; ) в результате получилось, что ce = r - r; r - радиус описанной окружности, r - вписанной, α = ∠cab = ∠oab; ∠oab = α/2; ac*sin(α) = r - r; ac = 2*r*sin(α); (теорема синусов) r = r*sin(α/2);   исключая ac и подставляя r/r = sin(α/2) = x; легко получить 1 - sin(α/2) = 2*(sin(α))^2 = 8*(sin(α/2))^2*(1 - (sin(α/2)^2); 8x^3 + 8x^2 - 1 =0; или x^3 + x^2 - 1/8 = 0; плохое кубическое уравнение, однако немного подумав, можно сообразить, что x = -1/2; - корень. если сократить на (x + 1/2); получится уже квадратное уравнение x^2 + x/2 - 1/4 = 0; единственный положительный (и меньше 1) корень этого уравнения x = (√5 - 1)/4; это синус 18°; поэтому сам угол при основании равен 36°;

1)    воспользуемся тем, что сумма двух соседних углов ромба равна 180⁰.

по условию два угла ромба относятся как 3: 7, значит,

если один из углов 3х, то другой 7х  и   

3х + 7х  = 180

10х = 180

х =18

тогда больший угол равен:   7х = 7*18⁰ = 126⁰

ответ: 126⁰.

2)  площадь равнобедренной трапеции найдем по формуле:

                                    s = m * h

где m -  это средняя линия  трапеции и по усл. равна 8

найдем высоту h.  опустим высоту bh  из тупого угла в  на сторону аd, и рассмотрим δ abh (он прямоугольный).  заметим, что т.к  по условию угол авс трапеции =135⁰  и используя то, что сумма углов трапеции ваd + авс = 180⁰ , можем найти   угол bad = 180 - 135 = 45⁰/

итак в прямоугольном δ abh , один из острых углов равен 45⁰, тогда другой острый угол равен 90 - 45=  45⁰,  т.о. в треугольнике abh нашлись два равных угла, значит  по признаку р/б треугольника δ abh  является р/б  =>   по определению р/б треугольника  у него две стороны равны:  

                                    ah = bh = х.

по услонию ав=5, тогда по теореме пифагора  в δ abh:  

 

ah² + bh²  =  ав²

х² + х²  = 5²

2х²  = 25

х²  = 25/2

х  = √25/2

х  = 5/√2

х  = 5√2/2

 

итак высота трапеции bh = 5√2/2

 

s = m * h  = 8 * 5√2/2  = 4 * 5√2  = 20√2

 

ответ:   20√2 .