Вравнобедренном треугольнике abc с основанием ас проведена биссектриса сd. найдите углы треугольника аbc, если угол adc=75 градусам. с решением, чтобы до моего жалкого умишки доперло: 3

Dac=45 dca=60 bdc=30 bcd=60

(нудная . здесь и далее курсив можно не читать.) центр вписанного шара o1  проектируется на основание abc в центр правильного треугольника abc (пусть это o2) - это следует из того, что пирамида "переходит в себя" при повороте вокруг so2 на 120°; далее, линия соединяющая центры шаров oo1 проектируется на основание на отрезок ao2. этот отрезок - радиус описанной  вокруг abc окружности, он равен удвоенному радиусу вписанной в abc окружности и равен высоте пирамиды, поскольку ребро наклонено к основанию  под углом в 45 °. далее, прямая bd - это то же самое, что и прямая o2d, где d - середина ac. ясно, что o2d перпендикулярно плоскости aod, так как перпендикулярно двум прямым в этой плоскости - ac и oa (oa перпендикулярно всей плоскости abc). поэтому нужный угол - это угол ado, и для его вычисления надо найти радиус шара с центром в o. я обозначу этот радиус r, а радиус вписанного в пирамиду шара  r.1) пусть радиус вписанной в abc окружности равен 1. то есть  o2d = 1; ( это не ограничивает общность.) тогда ao2 = 2 = so2; сторона основания равна 2 √3; площадь правильного тр-ка в  основании sabc =  (2√3)^2*√3/4 = 3√3; апофема равна sd =  √(2^2 + 1^2) =  √5; площадь боковой грани равна 2√3*√5/2 =  √15; площадь полной поверхности пирамиды равна spol =  3√3(√5 + 1); объем пирамиды равен v = sabc*so2/3 =  (3√3)*2/3 =  2 √3; отсюда радиус вписанного в пирамиду шара равен r = 3v/spol = 2/( √5 + 1); (это соотношение совершенно аналогично известному s =  pr для треугольника. и получается оно точно так же - надо соединить центр вписанного шара с вершинами и рассматривать пирамиду как сумму - в данном случае - четырех пирамид с высотами, равными радиусу вписанного шара. отсюда v = spol*r/3; )2) фигура aoo1o2 - прямоугольная трапеция. её основания равны r и r, а боковые стороны r +  r и 2 (вот здесь учитывается касание шаров, ясно, что точка касания лежит на линии центров). поскольку r уже вычислено, найти r нетрудно.  (r + r)^2 = (r - r)^2 + 2^2; или 4rr = 4; r = 1/r; (занятное соотношение); r = ( √5 + 1)/2; поскольку  ad =  √3; то искомый угол ado = ф имеет тангенсtg(ф) = (√5 + 1)/2 √3;

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. треугольники, прилегающие к основаниям трапеции,  подобны по первому признаку подобия: "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны", т.к  < cad=< acb, а < bda=< dbc как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ad и вс и секущих ас и вd соответственно. итак, треугольники аоd и сов подобны с коэффициентом подобия вс/аd=5/7. тогда ао/ос=do/ob=5/7. ответ: диагональ трапеции разбивается другой диагональю на отрезки в отношении 5: 7.