Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. найдите площадь четырехугольника.

сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны

авсд -четырехугольник

ав+сд=вс+ад=12

r -радиус вписанной окр. с центром т.о

sаод=0,5*r*ад

sаов=0,5*r*ав

sвос=0,5*r*вс

sсод=0,5*r*сд

sавсд=sаод+sаов+sвос+sсод=0,5*r(ад+ав+вс+сд)=0,5*5(12+12)=60 см²

Управильного треугольника все стороны равны и каждый из углов равен 60 градусов. центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрисс. обозначим треугольник авс, проведём биссектриссу угла а - ае и биссектриссу угла в - вд. они пересекутся в точке о. биссектриссы правильного треугольника являются его высотами и медианами, значит од - медиана и высота и треугольник аод - прямоугольный, сторона которого ад=1/2ас=17√3/2. угол оад=60: 2=30 градусов, а катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, т.е. од (это радиус вписанной окружности) = 1/2ао. обозначим од - х, тогда ао=2х. по теореме пифагора:   ао²=од²+ад²   (2х)²=х²+(17√3/2)²   4х²=х²+867/4   3х²=867/4   х²=289/4   х=17/2=8,5. значит радиус вписанной окружности =8,5.

Можно получить синусы этих углов, поскольку известна гипотенуза - соответствующая сторона треугольника - и катет, лежащий против угла, перпендикулярный плоскости альфа. для ca это будет sin=4/12=1/3. для cb sin=8/16=1/2, то есть угол равен 30 градусов. для ab надо сначала по теореме пифагора вычислить гипотенузу: ab=20, затем, рассмотрев прямоугольную трапецию в плоскости, проведенной через ab и проекцию ab, увидеть катет, равный 4. получается sin= 4/20=1/5. площадь треугольника вычисляется по формуле (1/2)*16*12=96 кв. см.