Радіус основи конуса дорівнює 2 см а його висота 3 см знайдіть радіус кулі рівновеликої цьому конусу

1)  высота прямоугольного треугольника авс равна 24см и отсекает от гипотенузы  отрезок дс, равный 18 см. найдите ав и cos а.

 

катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

 

проекция ад катета ав на гипотенузу равна разности между длиной гипотенузы и длиной отрезка дс

ад= ас-дс=24-18=6 смав²=6*24=144ав=√ 144=12cos а=ад: ав=6: 12=1/2

2)  в прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона равна 4 см, а один из углов трапеции 150градусов. найдите площадь трапеции.угол 150° - угол при большей боковой стороне. сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. острый угол, образованный этой стороной и основанием равен 180°-150°=30°. опустим высоту из тупого угла на большее основание трапеции. так как высота   противолежит углу 30°, ее длина равна половине длины боковой стороны и равна 4: 2=2 смвысота равна меньшей боковой стороне, так как трапеция прямоугольная, и она отсекла от трапеции треугольник ( из которого мы находили ее величину) и прямоугольник со сторонами, равными высоте и меньшему основанию. большее основание равно меньшему основанию плюс длина катета прямоугольного треугольника, образованного высотой и боковой стороной. найдем длину этого катета по теореме пифагора: х²=4²-2² =16-4=12х=2√3большее основание равно 3+2√3

площадь трапеции равна   ½произведения ее высоты на сумму оснований.

s=2·( 3+3+2√3): 2= 6+2√3=2(3+√3) cм²

 

3)  диагональ ас прямоугольника авсд равна 3 см и составляет стороной ад угол 37°.найдите площадь прямоугольника авсд.

прямоугольник - параллелограмм. формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

s=(d·d·sin α  ): 2

s=(d·d·sin β  ): 2  ( синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны )d - большая диагональd - меньшая диагональα, β - углы между диагоналямидиагонали ас и вд прямоугольника равны. точкой пересечения они делятся пополам. поэтому с каждой из сторон они образуют равнобедренные треугольники аод и аов, в которых боковые стороны - половина диагонали, основание - сторона прямоугольника.

пусть угол аод =  αугол α между диагоналями равен 180°-2*37°=106°. sin(106°)= 0.9613s=(3·3·0.9613): 2  ≈  4,33 см²

 

Ав=√7, вс=2, ас=2√5. нужно найти какой их углов треугольника авс больше 90°. по всем канонам это угол  в. проверим это по теореме косинусов. cosb=(ав²+вс²-ас²)/(2ав·вс)=(7+4-20)/(2√7·2)=-9/4√7. cosb< 0, значит  ∠в> 90°. в тр-ках авс и акс  ∠авс=∠кас (ведь они оба больше  90°). исходя из их подобия, того, что сторона ас у них общая и с учётом того, что стороны ав и кс пересекаются не в точке в, градусная мера угла с в тр-ке акс не должна совпадать с градусной мерой угла с в тр-ке авс, значит  ∠аск=∠вас, следовательно  ∠акс=∠асв. по теореме косинусов в тр-ке авс cos(асв)=(ас²+вс²-ав²)/(2ас·вс). итак, cos(акс)=cos(асв)=(20+4-7)/(2·2√5·2)=17/8√5=17√5/40≈0.95 - это ответ.