Сколько диагоналей можно провести в выпуклом n угольнике. (при n=8, 10, 12)

p=n(n-3)/2

 

p=8(8-3)/2=4*5=20

p=10(10-3)/2=5*7=35

p=12(12-3)/2=6*9=54

Противоположные  вершины  четырехугольника являются  концами  отрезков,  которые  пересекаются,  т.е.  диагоналей,  поскольку  диагональ  четырехугольника  -  это  отрезок,  соединяющий  его  противоположные  вершины.  через  две  пересекающиеся  прямые всегда  можно  провести  плоскость  и  только  одну,  т.е.  две  пересекающиеся  прямые всегда  принадлежат  некоторой  плоскости.  если  прямая  принадлежит  плоскости,  значит каждая  ее  точка  принадлежит этой  плоскости,  следовательно вершины  четырехугольника  лежат  в  одной  плоскости,  поскольку  принадлежат  пересекающимся  прямым,  которые  содердат  диагонали  четырехугольника.

∠с = ∠c1, ∠а = ∠а1, ∠в = ∠в1 во = ос = в1о1  = о1с1, т.к. ао и а1о1  — медианы, и вс = в1с1. в δаос и δа1о1с1: ас = а1с1, ос = о1с1, ∠с = ∠с1. таким образом, δаос = δа1о1с1  по 1-му признаку, откуда ао = а1о1. 2т.к. δавс = δa1b1c1, то: ac = а1с1, ∠a = ∠а1, ∠с = ∠с1. ∠bak = ∠kac = ∠b1a1k1 = ∠k1a1c1, т.к. ak и a1k1 — биссектрисы равных углов.в δakc и δa1k1c1: ас = а1с1, ∠с = ∠с1, ∠kac = ∠k1a1c1. таким образом, δakc = δa1k1c1 по 2-му признаку равенства треугольников.откуда ak = a1k1.т.к. δавс = δa1b1c1, то: ac = а1с1, ∠a = ∠а1, ∠с = ∠с1.∠bak = ∠kac = ∠b1a1k1 = ∠k1a1c1, т.к. ak и a1k1 — биссектрисы равных углов.в δakc и δa1k1c1: ас = а1с1, ∠с = ∠с1, ∠kac = ∠k1a1c1. таким образом, δakc = δa1k1c1 по 2-му признаку равенства треугольников.откуда ak = a1k1.