Прямая bf перпендикулярна к плоскости параллелограмма abcd , bk-высота параллелограмма, проведенная к dc. найдите площадь треугольника dfс если bf=6, fk=10, площадь abcd=40 см в квадрате. , , надо! использовать надо теорему о трех перпендикулярах.

По теореме о трех перпендикулярах если fb перпендикулярна плоскости, bk перпендикулярна dc значит fk перпендикулярна dc и является высотой искомого треугольника. s = 1/2  fk · dc из δfkb bk = √(fk² - fb²) = √(10² - 6²) = 8 = h площадь паралелограмма  s = a h ( a - основание) если s = 40 значит dc = s/h = 40/8 = 5. s тр = 1/2 10 · 5 = 25

обозначения:

a, b - стороны параллелограмма

d1, d2 -диагонали параллелограмма

s=a*b*sin60° = a*b*(√3/2)

√3*a*b/2=210√3

a*b=420

p=2(a+b)

2(a+b)=88

a+b=44

система:

a*b=420

a+b=44

решаем систему:

b=44-a

a²(44-a+=420

a²-44a+420=0 d=1936-1680=256 √d=16

a1=(44+16)/2=30 a2=(44-16)/2=14

b1=14 b2=30

cтороны параллелограмма 30 и 14

один из углов =60, другой = 180-60=120

по теореме косинусов:

(d1)²=30²+14²-2*30*14*cos60=900+196-840*(1/2)=676

d1=26

(d2)²=30²+14²-2*30*14*cos120=900+196+840)*(1/2)=1516

d2=√1516=√(4*379)=2√379 ответ: 26; 2√379

такая решается двумя способами:

1) - ,

2) - векторным.

1) отрезки ad и be равны между собой, их длина равна:

ad = be =√(1² + (1/2)²) = √(5/4) = √5/2.

перенесём отрезок ad точкой d в точку е.

получим равнобедренный треугольник век, где точка к - середина ас, а вк - высота треугольника основания. вк = 1*cos 30° = √3/2.

угол век и есть искомый угол.

его косинус равен:

cos bek = ((√5/2)² + (√5/2)² - (√3/2)²)/(2*(√5/2)*(√5/2)) = (7/4)/(10/4) = 7/10.

∠bek = arc cos(7/10) = 0,79539883 радиан = 45,572996°.