Точка m, n и p лежат соответственно на сторонах ab, bc и ca треугольника abc, причём mn параллельны ac, np параллельны ab. найдите стороны четырёхугольника amnp, если am=ap, ab=a, ac=b.

  двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

 

  рассмотрим правильный тетраэдр  sa1a2a3  с длиной ребра  a. sb u ba1 высоты к  a1a3 ,  так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении  2  :   1, считая от вершины. несложно найти и точку пересечения медиан. так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка  o  – центр правильного треугольника    основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки  s, также проектируется в точку  o. значит, во=1/3 а3в =а/2 корня из3    в правильном треугольнике    длина апофемы тетраэдра равна sb= а корней из3/2      значит     cosb=bo/bs =1/3  

 

1. рассмотрим треугольник ава1. он прямоугольный, т.к. аа1 - перпендикуляр. угол ава1 = 30 градусам. катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, значит, ав = 2 * аа1.

 

2. воспользуемся теоремой пифагора.

ав^2 = аа1^2 + а1в^2

(2аа1)^2 = аа1^2 + 225

4аа1^2 = аа1^2 + 225

3аа1^2 = 225

аа1^2 = 75

аа1 = 5 корней из 3.

 

ав = 2 * аа1 = 10 корней из 3.

 

 

можно решить вторым способом, без теоремы пифагора.

1. в прямоугольном треугольнике косинус угла равняется отношению прилежащего катета к гипотенузе.

cоs 30 = 15 / ав

cos 30 = корень из 3 / 2

получаем пропорцию, решаем:

ав * корень из 3 = 30

ав = 30 / корень из 3

ав = 10 корней из 3

 

2. по той же теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов, вячисляем длину катета аа1:

аа1 = ав / 2 = 5 корней из 3.