2.в конусе через его вершину под углом φ к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 2α. радиус основания конуса равен r. найдите объём конуса.

Пусть хорда ав в основании -пересечение плоскости и основания. из центра окружности о основания опустим на хорду перпендикуляр ос, который разделит хорду пополам. угол аов - центральный, т.е. равен угловому измерению дуги альфа. в треугольнике дсо линейный угол дсо = фи, поэтому со=h*сtgфи. из треугольника аос радиус r=ао=ос/cos(альфа/2)=h*ctgфи/cos(альфа/2). дальше ищи объём по формуле "пи"*r^2*h/3.

Вектор ab = ( ); 5-2) = (3; 3); вектор cd = (-1-2; -2-1) = (-3; -3). эти векторы коллинеарны, т.к. выполняется условие коллинеарности (пропорциональность координат): 3/(-3) = 3/(-3). что означает, что прямые ab и cd параллельны, поскольку векторы ab и cd являются направляющими векторами для этих прямых. аналогично: вектор bc = (2-2; 1-5) = (0; -4); вектор ad = (-); -2-2) = (0; -4). векторы совпали, значит они сонаправлены. (условие коллинеарности здесь тоже выполняется, а именно 0/0 = -4/-4, здесь пропорциональность координат нужно подразумевать как основное свойство пропорции - произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов пропорции 0*(-4) = 0*(-4), 0=0. таким образом в данном четырехугольнике противоположные стороны лежат на параллельных прямых, что означает, что этот четырехугольник параллелограмм.

Если точка  х  лежит на прямой  а, то ее параллельной проекцией  x'  является точка, в которой прямая  а  пересекает плоскость α.если точка  х  принадлежит плоскости  а,  то точка  x'  совпадает с точкой  x.таким образом, если заданы плоскость αи пересекающая ее пря­мая  а,  то каждой точке  х  пространства можно поставить в соответст­вие единственную точку  x' -  параллельную проекцию точки  х  на плоскость α(при проектировании параллельно прямой  а).  плоскость αназывается  плоскостью проекций.  о прямой  а  говорят, что она зада­ет  направление проектирования -  при замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. все прямые, параллельные прямой  а, одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой  а  птеорема.при параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства: 1. проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок.2. проекции параллельных прямых параллельны или .3. отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проекти­ровании середина отрезка проектируется в середину его проекции.при изображении тел на плоскости необходимо следить за тем, чтобы указанные свойства выполнялись. в остальном оно может быть произвольным. так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, тре­угольник при параллельном проектировании изображается произ­вольным треугольником. но если треугольник равносторонний, то на проекции его медиана должна соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны. и еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - это способствовать созданию верного представления о них.роектирующими прямыми.