Один из катетов прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза больше второго катета на 3 см. найдите периметр треугольника:

Следуя теореме гепотенуза равна 18 см. тогда второй катит равен 15 см. и 9 см первый катит. тогда периметр равен 9+15+18=42

условие насчет «один из углов в два раза меньше другого» делает элементарной. в самом деле, углы при основании равнобедренной трапеции равны, поэтому речь идет о внутренних односторонних углах при боковой стороне, сумма которых 180 градусов, поэтому угол при большем основании 60 градусов, а при меньшем — 120, конечно.

но это означает, что трапеция является усеченным правильным треугольником. поскольку диагональ трапеции является биссектрисой угла при основании, то попадает в середину стороны этого  правильного треугольника. то есть верхнее основание — это средняя линяя  правильного треугольника, до которого достраивается трапеция при продолжении боковых сторон. отсюда большее основание равно удвоенному меньшему, то есть 16. 

площадь можно сосчитать по разному, например, как 3/4 площади правильного треугольника со стороной 16. 

однако можно и так — соединим середину большого основания с вершинами малого. легко видеть, что трапеция разрезана на 3 равносторонних треугольника со стороной 8. площадь каждого из них 8^2*корень(3)/4 = 16*корень(3), а площадь трапеции 48*корень(3).

теперь заодно видно, что высота ке делит большое основание в отношении 3/1.

"умножение катет" это видимо их произведение? a+b+c=30 ab=60 вспоминаем теорему пифагора: a²+b²=c² прибавляем к обеим частям 2ab: a²+2ab+b²=c²+2ab (a+b)²=c²+120 для удобства заменим a+b на х: х²=с²+120 или: с²=х²-120 но в то же время  a+b+c=30, или х+с=30 с=30-х с²=(30-х)²=900-60х+х² приравниваем два выражения для квадрата гипотенузы: х²-120 = 900-60х+х² 60х = 1020 х=17 итак, мы знаем: a+b=17 ab=60 выражаем: a = 17-b (17-b)b=60 17b-b²=60 b² - 17b + 60 = 0 d = 289 - 4*60 = 49 = 7² b = (17+-7)/2 = {12; 5} собственно мы и получили пару возможных значений - или a=5, b=12, или наоборот, это неважно.