Втреугольнике abc угол с =90 градусов, ab=15, bc=12 найдите косинус угла а.

Для начала найдем неизвестный катет ас^2=15^2-12^2=81; значит ас=9 по определению косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе,т.е.9/15=0,6

Яобозначаю  mp = a = 24  и  nk =  b = 16 пусть продолжения mn и kp  пересекаются в точке е. высота mpe пусть равна h (это просто обозначение). тогда высота nke равна h*b/a, а высота трапеции h =  h*(1 - b/a); прямая ab делит высоту трапеции в той же пропорции, что и диагонали (и вообще любой прямой отрезок с концами на основаниях), то есть в отношении b/a; то есть на отрезки h*b/(a + b) и h*a/(a + b) (первый отрезок между nk и ab, второй - между mp и ab, в сумме они h, и относятся, как b/a) отсюда высота треугольника abe равна h - h*a/(a + b) = h*(1 - (a - b)/(a + b)) то есть отношение высот подобных треугольников abe и mpe равно 1 - (a - b)/(a + b) = 4/5; (если подставить a = 24; b = 16) поэтому ab = mp*4/5 =   96/5 =  19,2

Если провести общую внутреннюю  касательную к этим  двум окружностям, то она отсечет от треугольника со сторонами a, b, c подобный ему треугольник.пусть эта прямая пересекает катет a и гипотенузу с. поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в  √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в  √2 раз меньше. то есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/ √2;   если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему. b/√2 = c - a/√2; или    √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos( α);   решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно  α = 45 °; это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у нет.