На стороне cd и диагонали ac параллелограмма abcd лежат точки p и e так, что dp: pc=3: 2, ae: ec=4: 3. выразите вектор ep через векторы a=ab, b=ad.

1)вектор ас = сумме векторов ав и вс = сумме векторов а + в (по св-ву параллелограмма) 

2) вектор ес = 3: 7   вектора ас = (3 * на вектор а + 3 * на вектор в) : 7

3) вектор рс = 2: 5 вектора дс = 2: 5 вектора а

4) вектор ер = сумме векторов ес и ср =  (3 * на вектор а + 3 * на вектор в) : 7 -    2: 5 вектора а =   вектор а: 35 + 3 вектора в : 7

можно пристроить к кубу  abcda1b1c1d1 другой такой же куб следующим образом. продлим ребра а1а, в1в, с1с, d1d за точки а,в,с,d. на длину ребра куба и через полученные точки a2,b2,c2,d2 проведем плоскость ii авс. ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному. 

очевидно, что а2с ii ac1, поэтому угол между се и ас1 равен углу а2се.

замкнем треугольник а2се, проведя а2е в плоскости а2а1d1d2. 

в треугольнике а2се просто вычисляются все стороны.

a2c =  √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).

из прямоугольного тр-ка а2еd2 с катетами a2d2 = 1; d2e = 3/2; находим

  а2е =  √(1^2+(3/2)^2) =  √13/2;

аналогично из треугольника dce

cе =  √(1 + (1/2)^2) =  √5/2;

обозначим косинус угла а2се как х. по теореме косинусов

13/4 = 3+5/4 - x*2*√(5*3)/2;

x = 1/√15 =  √15/15; это - косинус искомого угла.

Напишу на , с украинской мовой я не .  заметим, что если провести из любой вершины высоту, то она будет и биссектрисой и медианой одновременно. также точка пересечения медиан будет совпадать с точкой пересечения биссектрис и высот (так как в правильном треугольнике медианы биссектрисы и высоты, проведенные из одной вершины ). а медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, начиная от вершины. теперь отрезок медианы от точки пресечения медиан до вершины будет радиусом описанной окружности. а отрезок медианы от точки пересечения медиан до основания (стороны, к которой проведен) будет радиусом вписанной окружности. значит половина длины радиуса  описанной окружности равна длине радиуса вписанной окружности. то есть 8: 2=4 см.  ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см.