Через любые две различные точки проходит не более одной прямой

Конечно

Чертеж на фото.

Дано: АВСД - параллелограмм; АЕ - биссектриса; ВС делится т.Е в отношении = 3:5;

АВ=120 см; Р(АВСД) - ?

----------------------------------------------

∠1=∠2 по условию (биссектриса).

По определению параллелограмма ВС║АД;    АЕ - секущая;

⇒ ∠2=∠3 (внутренние накрест лежащие);

значит ∠1=∠3;  Δ АВЕ - равнобедренный (углы при основании АЕ равны).  АВ=ВЕ=120 см

По условию т.Е делит ВС в отношении 3 : 5;

Пусть ЕС=3х;  тогда ВЕ=5х.

5х=120; х=120 : 5=24 см;

ЕС=3х=3*24=72 см.

ВС=120 + 72=192 см.

Р(АВСД)=2(АВ + ВС);  АВ=СД и ВС=АД по свойству параллелограмма.

Р(АВСД)=2(120 + 192)=2*312=624 см.

ответ: 624 см.

-------------------------------------------------------------------------------------

2-ой случай.

Биссектриса может делить ВС в отношении 3 : 5, начиная от т.В (сделать ВС длиннее).

Тогда ВЕ=3х;  ЕС=5х.

3х=120 см;  х=40 см;  5х=200 см;

ВС=120 + 200=320 см

Р(АВСД)=2(120 + 320)=2*440=880 см.

ответ: 880 см.

Если обозначить длину искомого отрезка за c, получим следующее равенство: (a+c)*h/2 = (c+b)*(h-h)/2 где h - высота трапеции со сторонами a и c, h - высота исходной трапеции со сторонами a и b с другой стороны, рассматривая подобные треугольники, нетрудно показать, то (b-a)/(с-a) = h/h, то есть h = h*(b-a)/(с-a) подставим h в первое уравнение: (a+c)*h/2 = (c+b)*(h*(b-a)/(с-a)-h)/2 из чего (выносом h) следует (a+c) = (c+b)*((b-a)/(с-a)-1) или к общему знаменателю суммы в скобках (a+c) = (c+b)*(b-a-с+a)/(с-a) или (с-a)*(a+c) = (c+b)*(b-с) или с^2 - a^2 = b^2 - с^2 или 2*с^2  = b^2  +  a^2 или с = корень((b^2  +  a^2)/2) - длина промежуточного отрезка равна корню из суммы квадратов a и b деленной на два - или среднеквадратичное из длин оснований например a = 8, b = 6, с = корень((64+36)/2) = корень(50)