Высоты параллелограмма равны 15 и 18 см. найти высоты другого параллелограмма если его стороны в 3 раза больше сторон первого.

Высоты первого параллелограмма относятся как их стороны( потому что площади треугольников равны), также относятся высоты второго параллелограмма следовательно 

Авс - равнобедренный тр-ник, ав=вс=40 см, вм=4√91 см, ар и ск - биссектрисы. найти кр. тр-ки арс и акс равны, так как  ∠аск=∠сар,  ∠кас=∠рса, сторона ас - общая, значит ак= рс, значит кр║ас, значит треугольники авс и квр подобны. в прямоугольном  тр-ке авм ам²=ав²-вм²=40²-(4√91)²=144, ам=12 см, ас=2ам=24 см. коэффициент подобия тр-ков авс и квр  равен: k=ав/кв. по теореме биссектрис   в тр-ке авс с биссектрисой ск: вс/ас=кв/ак  ⇒ кв=вс·ак/ас. ак=ав-кв, значит  кв=вс(ав-кв)/ас. кв=40(40-кв)/24, 24кв=1600-40кв, 64кв=1600, кв=25 см, подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=ав/кв=40/25=1.6 исходя из подобия тр-ков авс и квр кр=ас/k=24/1.6=15 см - это ответ.

Проведем се параллельно диагонали вd. треугольник асе - прямоугольный, так как его стороны связаны соотношением 5: 12: 13, то есть с²=a²+b². высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением: 1/a²+1/b²=1/h² или h²=a²*b²/(a²+b²) или h²=a²*b²/с². или h=a*b/c. в нашем случае h=10*24/26=120/13. тогда площадь трапеции равна s=(4+22)*120/2*13=120cм². ответ: s=120cм². p.s. заметим, что площадь трапеции s=(bc+ad)*h/2 равна площади прямоугольного  треугольника асе, так как высота у них одинакова, а основание (гипотенуза) треугольника равна сумме оснований трапеции: sace=ae*h/2=(bc+ad)*h/2. таким образом, можно было не находить высоту трапеции, а площадь ее найти как половину произведения диагоналей трапеции (катетов треугольника), то есть s=ac*bd/2=10*24/2=120см². или найти площадь треугольника асе (равную площади трапеции abcd)  по формуле герона (для любителей корней): s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√(30*20*6*4)=120см².