Две стороны остроугольного треугольника равны соответственно 13 см и 20 см. радиус описанного около треугольника круга 65/6см. найдите третью сторону треугольника.

Центр описанной окружности находится на пересечении перпендикуляров к серединам сторон треугольника.  если провести отрезок км между серединами известных сторон, то по свойству подобия треугольников он будет равен половине искомой стороны. четырехугольник оквм имеет два прямых угла и две диагонали: одна ов - это радиус описанной окружности и искомая км. обозначим углы кво и овм соответственно  α и  β. стороны ок и ом найдем по пифагору: ок =  √(r² -  (13/2)²) =  √((65/6)²-169/4) = 52/6 = 26/3. ом =  √(r² -  (20/2)²) =  √((65/6)²-100) =  √625/36=  25/6. cos  α = (13/2) / (65/6) = 39/65. cos  β = 10 / (65/6) = 12/13. sin  α = (26/3) / (65/6) = 52/65. sin  β = (25/6) / (65/6) = 5/13. угол кво равен  α +  β.   cos (α+β) = cos  α*cos  β - sin  α*sin  β. cos (α+β) = (39/65)*(12/13) - (52/65)*(5/13) = 16/65. c =  √(a²+b²-2abcos(α+β для треугольника квм а = 6,5 = 13/2, в = 20/2 = 10. с =  √((169/4)+100-2*(13/2)*10*(16/65)) =  √(28665/260) =  =  √(441/4) = 21/2 = 10,5. искомая сторона треугольника равна 2*с = 2*10,5 = 21.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. основания параллельны. как и для любого четырех угольника для прямоугольной трапеции верно: сумма квадратов диагоналей, равно сумме квадратов сторон. в трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании отрезок, равный боковой стороне если в трапецию вписана  с радиусом  r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка  —  a  и  b,  — то  площадь: s-площадь a, b - основания h- высота m- средняя линия r - радиус вписанной окружности a - угол при основании 

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости  вд  ⊥ ас (диагонали  квадрата пересекаются под прямым углом)проводим прямые мв и мд и получаем два прямоугольных треугольника мав и мад∆мав =  ∆мад ( по двум катетам) => mb = mд, значит    ∆ мвд - равнобедренный  во = од (  диагонали  квадрата пунктом пересечения делятся пополам)мо - медиана, а раз  ∆мвд - равнобедренный, то она будет еще и высотой и тогда  мо  ⊥ вд, а поскольку еще  ас  ⊥ вд, то    прямая вd перпендикулярна плоскости амо что и требовалось доказать