Дан выпуклый многоугольник (12 сторон найдите сумму углов многоугольника

Сумма углов выпуклого n-угольника = 180*(n-2) сумма углов выпуклого 12-угольника = 180*(12-2)=1800градусов

А) в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания b  делит большее основание a  на отрезки (a - b)/2 и (a + b)/2; это просто увидеть,  если провести высоты из обеих  вершин. второй отрезок (больший) как раз и есть проекция диагонали на основание (меньший отрезок - это проекция боковой стороны на основание). поскольку в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона c равна полусумме оснований. а) доказано. б) легко найти с = (27 +  3)/2 = 15; проекция c на a равна (27 - 3)/2 = 12; откуда высота трапеции 9; (получился египетский треугольник). кажется, что тут нужно искать значения радиусов (радиус вписанной окружности уже найден, он равен 9/2) и как-то с ними потом разбираться. но всё куда проще. центры обеих окружностей лежат на прямой n, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. при этом центр вписанной окружности лежит на средней линии. если через середину боковой стороны провести перпендикуляр, то он пересечет прямую n в центре описанной окружности. в силу очевидного подобия тут тоже получается египетский треугольник (его катеты - искомое расстояние и половина средней линии трапеции), и нужное расстояние равно (15/2)*12/9 = 10;

:) что-то вроде шутки: ) но если разберетесь - будет весьма полезно : ) пусть ma/ab = t; ясно, что параметр t, соответствующий положению mn, находится в пределах 0  < t <   1; я буду считать его переменным, и даже выходящим за предел 1. в силу параллельности mn ii ad ii bc,  cn/cd = 1 - t;   площади треугольников amo = s1 и cno = s2; можно записать так при любом значении t s1 = k1*t^2; s2 = k2*(1 - t)^2; проще всего это понять, если вспомнить известную формулу s1 = ao*am*sin(ф1)/2 и учесть, что am/ab = ao/ac; ф1 =  ∠bac; для s2 - аналогично.при t = 0 s2 = a*h/2; откуда s2 = (a*h/2)*(1 - t)^2; при t = 1 s1 = b*h/2; s1 = (b*h/2)*t^2; условие s1 = s2 дает a*(1 - t)^2 = b*t^2; это квадратное уравнение, которое легко решить, и   учитывая t < 1; получается t =  √a/(√a +  √b); чтобы в дальнейшем не путаться, я обозначу найденное значение параметра t, соответствующее условию , как t0; пункт б) уже решился - ясно, что mn = b*t0 + a*(1 - t0) =  √(ab); а вот с пунктом a) придется повозиться. для начала я продолжу боковые стороны трапеции до пересечения в точке e. если при этом еще и продлить возможные значения параметра t за 1, то легко найти,  что точке e  сторон соответствует t1 = a/(a - b); увидеть это легче всего,  если провести прямую через b ii cd; параллельность an и cm будет доказана, если em/am = ec/cn; если выразить эти отношения через параметры t0 и t1, получится (я думаю автор самостоятельно это сделает, хотя что тут   : )) (t1 - t0)/t0 = (t1 - 1)/(1 - t0); если подставить сюда найденные значения t1 = a/(a - b); t0 =  √a/(√a +  √b); легко найти что и правая и левая части равны  √b/(√a -  √b); то есть равенство действительно выполнено, что завершает доказательство an ii cm;