Найдите больший угол выпуклого четырехугольника, если его углы относятся как 3: 5: 7: 9

(360/(3+5+7+9))*9=135 град

в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

доказательство:

пусть в δавс ав > вс. докажем, что ∠с > ∠а.

отложим на стороне ав отрезок вк = вс. так как ав > вс, то точка к будет лежать между точками а и в, тогда угол 1 будет частью угла с:

∠1 < ∠с.

∠2 - внешний для δаск, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. тогда ∠2 = ∠а + ∠аск, т.е.

∠2 > ∠а.

и еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника вск. получаем:

∠а < ∠2 < ∠c, значит

∠а < ∠с

обратная теорема: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

доказательство:

пусть в треугольнике авс ∠с >   ∠a. докажем, что ав > вс.

предположим, что ав < вс. тогда по доказанной теореме ∠с должен быть меньше ∠а. это противоречит условию. значит предположение неверно, ав > вс.

Середины сторон ab, bc, cd, da - точки к, l, m, n, лежат в одной плоскости.  действительно,  kn – средняя линия треугольника abd, kn - параллельна bd, кn=bd/2.  lm – средняя линия треугольника cbd, lm - параллельна bd, lm=bd/2.  kn и lm параллельны, точки k, n, l, m лежат в одной плоскости.  кn=lm=bd/2  кnlm – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали)  аналогично, kl=mn=ac/2.  т.к. ac=bd, то  kl=lm=mn=nk.  параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб.