Впрямоугольном треугольнике abc перпендикуляр, проведённый из середины катета bc к гипотенузе. ab, делит гипотенузу в отношении 2 : 7, считая от вершины b. найдите косинус угла b треугольника.

Проведи перпендикуляр кн с середины вс на гипотенузу ав.  cosb=bh/bk и cosb=bc/ab. bh/ah=2/7, => ah=7bh/2. bc=2bk, => cosb=2bk/ab. ab=7bh/2+bh=9bh/2. cosb=2bk/(9bh/2)= 4bk/9bh. bh/bk=cosb,=> bh/bk=4bk/9bh. (bh^2)/(bk^2)=4/9,=> bh/bk=2/3.

Пусть  o  — центр окружности. предположим, что точка  q  лежит на продолжении диаметра  mp  за точку  p. из прямоугольного треугольника  onq  находим, что  qn = on· ctg60 =   ·   =  , oq=2nq =2.  тогда  qm=mo+oq= +2 . по теореме о внешнем угле треугольника    mon =90+60 =150 градусов по теореме косинусов из равнобедренного треугольника  mon  находим, что  mn2= om2+on2-2om· on cos150=6+6+2·6·  =12+6 .  по формуле для медианы треугольника  qd2=1/4 (2qn2+2qm2-mn2)= 1/4(2·2+2( +2 )2-12-6 )=1/4(20+10 ).  следовательно,  qd = 1/2   =

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. значит cd=ac: 2=10: 2=5 см в прямоугольном треугольнике adc по теореме пифагора находим катет ad: ad=√ac²-cd²=√10²-5²=√75=√25*3=5√3 см в прямоугольном треугольнике aed катет ed, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы ad. значит ed=ad: 2=5√3: 2=2.5√3 см в прямоугольном треугольнике aed по теореме пифагора находим неизвестный катет ае: ae=√ ad² -ed² =√ (5√ 3)² -(2.5√ 3)² =√ 25*3-6.25*3=√ 56.25=7.5 см