Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а гипотенуза — 16 см. чему равны острые углы этого треугольника?

Впрямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. если гипотенуза 16, а катет 8, то против этого катета находится угол 30 градусов. остальные углы: 90 и 60 градусов. ответ: 30 и 60 градусов.

60градусов и 30 градусов

Обозначим заданные углы  α, сторона основания а, боковое ребро l. проекция бокового ребра на основание равна длине стороны основания (свойства правильной шестиугольной пирамиды). cos α = a/l.                                              (1) в боковой грани sin (α/2) = (a/2)/l. используем формулу двойного угла: cos  α = 1 - 2sin²(α/2) и подставим значение синуса половинного угла. cos  α = 1 - 2*(a²/(4l²)) = 1 - a²/(2l²).        (2) приравняем значения косинуса искомого угла по формулам (1) и (2). a/l =    1 - a²/(2l²). замена: a/l =    х. тогда х = 1 - (х²/2). получаем квадратное уравнение:   х² + 2х - 2 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант: d=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=*2)=)=4+8=12; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√12-2)/(2*1)=(√12//2)= √3-1 ≈ 0.73205; x_2=(-√12-2)/(2*1)=-√12/2-2/2=-√3-1 ≈ -2.73205 (отбрасываем). искомый угол равен arc cos (√3-1) =  0,749469 радиан = 42,9414°.

Пусть для определенности a находится между b и d. поскольку угол между касательной dc и хордой ac опирается на ту же дугу, что и вписанный угол abc, делаем вывод о равенстве этих углов. а так как угол d в треугольниках dac и dcb общий, делаем вывод о подобии этих треугольников по двум углам. обозначив da через x, получаем равенство  x: d=b: a, значит, отрезок длиной x можно построить с циркуля и линейки (поскольку мы решаем сложную , умение делать стандартные построения с циркуля и линейки предполагается). теперь все просто: в  δdac нам известны все стороны, так что его можно построить. продолжая da за точку a, ищем пересечение окружности с центром в точке c и радиусом a с указанным продолжением - это будет точка b.