Решите 2 ! первая : в треугольнике авс угол с в 2 раза меньше угла в, а угол в на 45 градусов больше угла а. а) найдите углы треугольника. б) сравните стороны ав=вс. вторая : в равнобедренном треугольнике мnк точка d середина основания мк, da и dв - перпендикуляры к боковым сторонам. докажите, что угол adn = углу вdn.

1)а) пусть угол с это x, тогда угол в равен 2х, а угол а равен 2х-45.  сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому: а+в+с=180; х+2х+2х-45=180; 5x=225; x=45, то есть угол с=45. угол а=2х-45=45; угол в=2х=90. б) тут сравнивать нечего: если углы при основании равны, то и прилежащие стороны равны, и треугольник равнобедренный+прямоугольный. 2) рассмотрим треугольники mda и bdk:   они равны по двум равным сторонам md и dk, двум равным углам m и k, угол мад=дбк=90 из этого следует, что ад и дб равны. треугольники адн и ндб равны по сторонам ад и дб, общей стороне нд и углы дан и дбн равны по 90. и из этого следует, что углы адн и бдн равны чтд

дано:

ok = r = 12sb = 26

найти: so

* так как пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник.* чтобы найти высоту, нам нужно найти радиус описанной окружности - ob = r.* воспользуемся  формулой правильных n-угольников. (в нашем случае n = 3, так как в основании правильный  треугольник.  r = r * cos180º/n  r = r * cos180º/3  r = r * cos60º  12 = r * 1/2  r = ob = 12 * 2 = 24* рассмотрим треугольник sob (∠o  = 90º)  sb2  = so2  + ob2  262  = so2  + 242  676 = so2  + 576  so2  = 676 - 576  so2  = 100  so = 10

две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. обозначается это так:   .

рис. 1

отрезки ab и cd, лежащие на параллельных прямых, называются  параллельными.

лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? и существуют ли такие прямые? ведь а и b не ограничены. и в соседней комнате не пересекутся? и на луне?

оказывается, такие прямые существуют.

мы доказывали, что перпендикулярная прямая  а  к прямой  с  и перпендикулярная прямая  b  к прямой  с  нигде не пересекаются (рис. 2).

рис. 2

то есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. оказывается, для этих прямых есть термин.

.

2. накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы

рассмотрим важную конструкцию, в которой две прямые  а  и  bрассекаются прямой  с  (рис. 3).

рис. 3

с  – секущая  а  и  b. это означает, что она пересекает и  а, и  b.

возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

эти углыназываются:

-  накрест лежащие углы:   ,  ;

-  односторонние углы:   ,  ;

-  соответственные углы:   ,  ,  ,  .

  – смежные углы.

  – вертикальные углы.

3. признаки параллельности прямыx

сформулируем и докажем  первый признак параллельности прямых.

если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

итак, даны две прямые  а  и  b. прямая ав рассекает эти прямые и    (рис. 4).

рис. 4

докажем, что  .

доказательство:

рис. 5

возьмем середину отрезка ав – точку о – и опустим перпендикуляр он на прямую  а. получим точку н. получим отрезок ан. отложим от точки в по прямой  b  отрезок, равный длине отрезка ан. получим точку  , причем  .

имеем два треугольника    и  . эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними):   (по условию),  (по построению), оа = ов (по построению).

из равенства треугольников следует, что  . а значит  – это продолжение он, то есть точки о, н и    лежат на одной прямой.

также  . значит, прямая н  перпендикулярна к прямой b.

итак, мы имеем, что  ,  . а значит,  , что и требовалось доказать.

второй признак параллельности прямых

если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

имеем:   а,  b, с  – прямые;   с  – секущая,.

рис. 6

доказательство:

значит,  .

применим первый признак параллельности прямых и получим, что  .

третий признак параллельности прямых

если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

имеем:   а,  b, с  – прямые;   с  – секущая,  (рис. 7).

рис. 7

доказательство:

значит,    .

применим первый признак параллельности прямых и получим, что  .

4. решение

признаки параллельности прямых используются для решения разных .

рассмотрим пример:

а,  b, с  – прямые;   с  – секущая,,    (рис. 8)

рис. 8

сведем к одному из признаков параллельности прямых.

следовательно,. по третьему признаку параллельности прямых.

на этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. на следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

 

список рекомендованной

1. александров а.д., вернер а.л., рыжик в.и. и др. 7. – м.: просвещение.

2. атанасян л.с., бутузов в.ф., кадомцев с.б. и др. 7. 5 изд. – м.: просвещение.

3. бутузов в.ф., кадомцев с.б., прасолова в.в. 7 / в.ф. бутузов, с.б. кадомцев, в.в. прасолова, под ред. садовничего в.а. – м.: просвещение, 2010.