Отношение сторон параллелограммы относится как 2: 3. а периметр равен 70 см. острый угол равен 30 градусов. найдите площадь параллелограммы.

с рисунком

1)

bk биссектриса, тогда abk=kbc или abd+dbk=cbm+kbm откуда abd=cbm=y и dbk=x по теореме штейнера получается

ad*am/(cm*cd) = (ab/bc)^2 но так как am=cm (медиана) ad/cd = (ab/bc)^2 (1) с одной стороны ad=ab*siny   и cd=bc*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников abd и cbd соответственно.  

с другой ab/bc = cos(2x+y)/cosy   из треугольника abc подставляя в   (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy   откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x< 180

откуда x=45-y  

значит abc=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр

2) способ второй

опишем около треугольника abc окружность,   пусть x,h,y точки пересечения bm,bk,bd с описанной окружностью.

тогда из условия следует ax=cy и ah=ch (опираются на равные углы) так же получаем что h середина дуги xy так как bk биссектриса, hm высота и биссектриса равнобедренного треугольника ahc и xy || ac (так как axyc) равнобедренная трапеция , значит byx=bda=90 гр, если f   точка пересечения   xy и mh тогда из подобия треугольников   xhm и xyb учитывая что xh=hy   откуда xm/bx=1/2 то есть bm=mx а так как   mx=my (треугольники amx и cmy равны) получаем bm=mx=my треугольник bmy   равнобедренный , откуда   bd=yd откуда m центра описанной окружности, значит ac диаметр   откуда abc=90 гр.

1. углы пересечения двух прямых имеют следующие свойства:

ф1 = ф3; (1)

ф2=ф4; (2)

ф1+ф2 = ф3+ф4 = 180 (3)

из условия знаем, что ф1+ф3 = 3*(ф2+ф4)

подставляя из (1) и (2), получим

2ф1 = 6ф2 или ф1 = 3ф2

из (3) следует, что ф1 = 180-ф2, так что

180-ф2 = 3ф2 или ф2 и ф4 = 180/4 = 45 градусов

ф1 и ф3 = 180-45 = 135 градусов

2. из условия следует, что ф1 + ф3 = ф2/2

из (1) пред. пункта это значит ф1 + ф1 = ф2/2 или ф1 = ф2/4

из (3) следует что ф1 = 180 - ф2, то есть 180 - ф2 = ф2/4

получаем: ф2 = 180*4/5 = 36*4 = 144 градуса

ф1 = 180 - 144 = 16 градусов

3. из условия следует, что ф1 = (ф2+ф3+ф4)/11

используя (1) и (2) из первой , получим

ф1 = (ф2+ф1+ф2)/11 или 10*ф1/11 = 2*ф2/11 или 5*ф1 = ф2

из (3) получаем 5*ф1 = 180-ф1 или 6*ф1 = 180 или ф1 = 30 градусов

ф2 = 180-30 = 150 градусов