Доказательство площади ромба через диагонали.

Смотри доказательство внизу 

1 : 2

Объяснение:

Пусть точки K, L, M лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC правильного треугольника ABC, причём KL $ \perp$ BC, LM $ \perp$ AC, MK $ \perp$ AB. Тогда

$\displaystyle \angle$MKL = 180o - $\displaystyle \angle$BKM - $\displaystyle \angle$LKB = 180o -90o -30o = 60o.

Аналогично $ \angle$KML = 60o. Значит, треугольник KLM также равносторонний. Прямоугольные треугольники AKM, BLK и CML равны по гипотенузе и острому углу, а т.к. CM = AK = $ {\frac{{1}}{{2}}}$AM, то CM : AM = 1 : 2. Аналогично AK : KB = BL : LC = 1 : 2.

№1. Параллельность прямых a и b доказана.

№2. Параллельные прямые а и с.

Объяснение:

№1

Надо доказать параллельность прямых а и b.

Дано: прямые а и b.

MP = PE;

МР и МЕ - секущие;

∠1 = ∠2;

Доказать: a || b.

Доказательство:

Для того, чтобы доказать параллельность прямых  a и b, надо доказать один из признаков параллельности прямых.

1. Рассмотрим ΔМРЕ.

МР =  РЕ (по условию)

⇒ ΔМРЕ - равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠1 = ∠3

   ∠1 = ∠2 (условие)

⇒ ∠2 = ∠3 - накрест лежащие при a и b и секущей МЕ.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

⇒ a || b.

№2.

Найти параллельные прямые.

Дано: прямые a, b, c.

d - секущая;

∠1 = 25°; ∠2 = ∠3 = 155°.

Найти: параллельные прямые.

1) ∠3 = ∠5 (вертикальные)

  ∠3 = ∠2 = 155° (условие)

⇒ ∠5 = ∠2 = 155°.

2) ∠2 и ∠5 - внутренние односторонние.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Проверим:

∠1 + ∠5 = 155°+ 155° = 310° ≠ 180°

⇒ прямые c и b НЕ параллельны, так как признак параллельности не соблюдается.

3) ∠2 = ∠4 = 155° (вертикальные)

4) ∠4 и ∠1 - соответственные.

∠4 = 155° (п.3)

∠1 = 25° (условие)

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠1 ≠ ∠4 ⇒ прямые а и b НЕ параллельны.

5) Проверим параллельность а и с.

∠1 = 25°; ∠3 = 155° (условие)

6) ∠1 и ∠3 - внешние односторонние.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма внешних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Проверим:

∠1 + ∠2 = 25° + 155° = 180°

⇒ прямые а и с - параллельны.