Один из углов треугольника больше другого на 20градусов и меньше третьего на 20градусов. найдите меньший из углов.

пусть дан треугольник авс, ав=вс. он тупоугольный, т.к. ас²> ав²+вс²

вв1- высота к ас.

аа1=сс1 - высоты к равным боковым сторонам, и как высоты тупоугольного треугольника, проведенные к боковым сторонам, лежат вне его.

высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и медианой. ⇒

ав1=св1=30: 2=15

∆ авв1=∆ свв1 ( по трем сторонам).

из ∆ авв1 по т.пифагора

вв1=√(ab²-ab1²)=√(17²-15²)=8 см

высоты к боковым сторонам найдем из площади ∆ авс

s=h•a: 2

s(abc)=bb1•ac: 2=8•15=120 см²

h=2s: a=2s(abc): bc

aa1=cc1=240: 17=240/17= см

ясно, что один из отрезков - тот, который имеет своим концом вершину прямого угла - равен радиусу вписанной окружности. это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания - у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов. 

поскольку два угла прямоугольнного треугольника острые, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания меньше, чем 1. поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет - на отрезки 7 и х.

(8 + x)^2 = (7 + x)^2 + 15^2;

x = (15^2 + 7^2 - 8^2)/2 = 105;

поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113.

само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2.

(интересная пифагорова тройка 15, 112, 113, - она получается, если взять пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева : ) забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить - или, наоборот, приписать - сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. но эту вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч егэ. её и профессор не всякий