Площадь трапеции abcd равна 30 . её основание ad в два раза больше основания bc. точка p лежит на середине боковой стороны ab, а точка r на стороне cd, деля её в отношении dr : rc как 2: 1. прямые ar и pd пересекаются в точке q. найдите площадь треугольника apq

Обозначим вс=х, ад=2х, проведем высоту ск,обозначим н,  ск перпендикулярна ад. s=(х+2х)·н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30. значит х·н=20. это нужное в дальнейшем значение. s (δ apд) = 1/2·ад·h/2  (точка p - середина ав) s( δ apд) = 1/2 х·н=10 ( я обращала внимание, что х·н=20) проведем высоту rм паралелльно ск. из подобия треугольников скд и rмд rm=2h/3 s( δ arд) = 1/2·2х·2н/3= 2х·н/3= 40/3 площадь треугольника apд состоит из площадей треугольников apq и aqд. в сумме дает 10 площадь треугольника arд состоит из площадей треугольников qpд  и aqд, сумме 40/3. запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую получим  s ( δqpд) = s (δ apq) + 10/3 обозначим s ( δ apд) = s выразим площади всех треугольников через s   s ( δ abq) = s  ( у треугольников равны основания ар=рв и высота общая) s ( δ aqд) = 10 - s s (δ qrд) = s + 10/3 ( см. выше) s( δ bcr) = 1/2 ·вс· н/3 ( высота из точки r на сторону вс, в силу условия дr: rc=2: 1) = 1/6· х·н= 20/6=10/3 s (δ abr) = s ( всей трапеции) - s( δarд) - s (δ bcr)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3 получили, что площади треугольков abr  и arд  равны. поскольку основание ar - общее, значит и высоты, проведенные из точек в и д на сторону ar  равны. значит и площади треугольников abq  и aqд  тоже равны. у них основание общее aq. высоты равны. поэтому s+s=10-s s=10|3 ответ  площадь треугольника apq равна 10/3

122

Объяснение:

т.к угол аск равен углу ксв = 16 и нам известнен угол В он равен 90 значит мы можем найти угол ВКС он равен 90-16=74 так как сумма двух острых углов у прямоугольного треугольника равна 90. дальше находим смежный с ним угол АКС 180-74= 106 теперь найдем угол КАС он равен 180-106-16=58 значит угол дас равен 180-58=122

вторая задача:

ответ:10

Объяснение:

находим угол смежный с углом равный 150° - 180-150=30 - АВК. найдем большой угол САВ он равен 180-90-30=60 т.к мы видим что АК биссектриса значит АСК равен КАВ равны 30. в прямоугольном треугольнике по теореме катет напротив угла равный 30 градусов равен половине длине гипотенузе значит СК равен 20:2=10

третья задаяа:

ответ:14

Обьяснение:

Находим угол ЕВС он равен 90-60=30 - по сумме двух острых углов в прямоугольном треугольнике . этот угол опять же равен 30 градусов значит по теореме из задачи следует что ВЕ = 14 . находим АЕВ = 180-60=120 т.к он смежный с углом ВЕС. находим угол АВЕ 180-30-120=30 из этого следует что треугольник равнобедренный и у него ВЕ равно АЕ =14

Пусть О - точка пересечения медиан.

Если взглянуть на хорошо нарисованный чертеж (то есть такой, где медианы треугольника взаимно перпендикулярны), можно увидеть три прямоугольных треугольника (их там больше, но нам только эти нужны) АОВ, АОЕ и BOD.

если обозначить КОРОТКИЕ ОТРЕЗКИ медиан, как y и z (ОD = z, при этом по свойству медиан ОА = 2*z, и так же OE = y, поэтому ОВ = 2*y), а неизвестную сторону АВ = х, то из этих треугольников сразу получается 3 равенства:

(2*y)^2 + (2*z)^2 = x^2; то есть х^2 = 4*(y^2 + z^2);

z^2 + (2*y)^2 = BD^2 = 4;

(2*z)^2 + y^2 = AE^2 = (3/2)^2 = 9/4;

Два последних уравнения можно честно решить, найти y и z, и вычислить х. Но раз нам надо только найти сумму квадратов y и z, можно сложить эти 2 последних уравнения, и мы сразу получим ответ.

5*(y^2 + z^2) = 4 + 9/4 = 25/4; (y^2 + z^2) = 5/4; x^2 = 5;

ответ: АВ = корень(5)