До гіпотенузи прямокутного трикутника проведено висоту і медіану, відстань між основами яких 7см. знайдіть площу трикутника, якщо висота дорівнює 24см.

Строим треугольник abc (угол с=90градусов) опускаем высоту cp=24 и медиану ch=? по условию ph=7 из треугольника сph(угол p=90град. по теореме пифогора   найдём ch) получается ch=25 а мы знаем , что в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы(ab) т.е. ab=50 так как медиана делит гипотенузу на 2 равных части hb=25 и 25-7=18  (bh-ph=pb). по т.пиф. из треугольника pbc найдём сb  =30. от сюда из большого треугольника bca второй катет равен са= =40. ну теперь площадь s= 30*40=600

Пусть имеем прямоугольный треугольник авс с катетом ав = 12 см. радиус вписанной окружности равен 5 см.отрезок от точки касания окружности стороны ав равен 12 - 5 = 7 см.тангенс половины угла а равен 5/7.находим тангенс угла а по формуле двойного угла.tg a = (2*(5/7))/(1-(25/49)) = 35/12.теперь можно найти второй катет вс: вс = аb*tg a = 12*(35/12) = 35 см.гипотенузу находим по теореме пифагора: ас =  √(12² + 35²) =  √( 144 +  1225) =    √ 1369 = 37 см. ответ: периметр равен 12+35+37 = 84 см.

Для решения рассмотрим рисунок по свойству высоты прямоугольного треугольника проведенной из вершины прямого угла, высота есть среднее пропорциональнее между проекциями катетов на гипотенузу.сд = √ад * вд.пусть длина высоты сд = х см, тогда, по условию, длина отрезка равна: вд = (х + 4).тогда: х = √(9 * (х + 4)) = √(9 * х + 36).возведем обе стороны равенства в квадрат.х2 = 9 * х + 36.х2 – 9 * х – 36 = 0.решим квадратное уравнение.d = b2 – 4 * a * c = (-9)2 – 4 * 1* (-36) = 81 + 144 = 225.х1 = (9 - √225) / (2 / 1) = (9 – 15) / 2 = -6 / 2 = -3. (не подходит, так как < 0).х2 = (9 + √225) / (2 / 1) = (9 + 15) / 2 = 24 / 2 = 12.сд = 12 см, тогда дв = 12 + 4 = 16 см.ав = ад + дв = 9 + 16 = 25 см.из прямоугольного треугольника асд определим гипотенузу ас.ас2 = сд2 + ад2 = 144 + 81 = 225.ас = 15 см.из прямоугольного треугольника авс, определим катет вс по теореме пифагора.вс2 = ав2 – ас2 = 625 – 225 = 400.вс = 20 см.ответ: ав = 25 см, вс = 20 см, ас = 15 см.