Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8. найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения директрис получившегося эллипса.

F1  - f2 =2c=8    c=4 большая  ось  2b=10    b=5 a^2=b^2  -  c^2    a^2=25  - 16 =9    a=3 уравнение  элипса  x^2/a^2  + y^2/b^2 =1    x^2/9 +y^2/25=1 эксцентриситет  =  c/b = 4/5 уравнения  директрис  х=+-  а/е    х=+-(3*5)/4  =+-15/4=+- 3 3/4 координаты  фокусов  (0; 4)  (0; -4)

Всё просто, следите за мыслью и сами поймёте. раз два угла равны между собой, то смотрите: аdb и bde углы смежные, т.е. если 180-adв сделать. так же углы вec и вed смежные, у них так же 180-bec. но т.к. между собой эти два угла равны, то получившиеся углы внутри треугольника вde тоже будут равны. треугольник этот получится равнобедренным. а в равнобедренном значит вd будет равна стороне be, а значит треугольники abd  и bec будут равны по двум сторонам и углу между ними (1 признак равенства). если треугольники равны - соответствующие элементы равны, т.е.  ab =  bc. а значит треугольник abc - равнобедренный) 

проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро sc. середина ребра  sc это точка е. пересечение перпендикуляра   к этому ребру через точку е с основанием это точка к, находящаяся на высоте основания  сд. получим прямоугольный треугольник екс, в котором известна сторона ес = (1/2)  sc = (1/2)*10 = 5. в другом треугольнике soc сторона ос равна (2/3) высоты основания. для правильного треугольника авс этот отрезок равен  (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3. косинус угла с равен ос/sc = 4√3/10 = 2√3/5. теперь можно определить гипотенузу ск в треугольнике екс:

cк = ес/cosc = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).

так как ск лежит в плоскости основания на его высоте сд, то равные отрезки ср и см равны:

ср = см = ск / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).

  в плоскости боковой грани asc линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ем. аналогично в плоскости грани вsc это линия ер.

  длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике рем, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам се и см и косинусу угла между ними.

  косинус угла  α  при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.

тогда ем = ер = √(ес² + см² - 2*ес*см*cos  α) = 

√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) = 

=  √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9)    =  √400 / 3 = 20/3.

отрезок рм находим из пропорции подобных треугольников сав и срм:

рм = см = 25/3 = 8(1/3).

ответ: периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной  ребру sc в его середине, равен:

р = (25/3) + 2*(20/3) = (25 + 40) / 3 = 65/3 = 21(2/3).