Вшар, радиус которого равен 12 см, вписан цилиндр.вычислите оъем цилиндра, если его ось видна из середины образующей под углом 60 градусов.

Цилиндр вписан в шар. следовательно, диагональ его осевого сечения равна диаметру шара.  диаметр шара равен 2r =24 см -и это диагональ цилиндра, которая делит его осевое сечение на два прямоугольных треугольника.  пусть  этот вписанный цилиндр имеет осевое сечение авсд. ось цилиндра он видна из середины м образующей ав под углом 60°. т.е треугольник мон равнобедренный, угол омн=60°.  м- середина ав, о- середина вс. мо -средняя линия треугольника авс.  ⇒диагональ  ас  осевого сечения цилиндра параллельна мо и потому составляет с образующей угол 60°, а с основанием - угол 30°.образующая цилиндра противолежит углу 30°  и потому равна половине ас  ( гипотенузы прямоугольного треугольника адс)итак, образующая равна 12 см.диаметр ад основания цилиндра равен ас*sin(60 ° =24√3): 2=12√3, а его радиус 6√3  v=sh=πr².h=π*108*12=1296  π см²  (к сожалению. не могу вставить рисунок). надеюсь. без него будет понятно. 

диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, отношение сторон которых равно отношению сторон "египетского треугольника". т.е. 3: 4: 5

примем коэффициент отношения сторон за х.

тогда при катетах 3х и 4х гипотенуза равна 5х.

следовательно , диагональ здесь играет роль гипотенузы 

5х=20

х=4

один катет равен 3*4=12 см - это меньшая сторона прямоугольника

другой 4*4=16 см - это большая его сторона. 

ответ: большая сторона прямоугольника равна 16 см. 

можно решить и через теорему пифагора:

20²=(3х)²+(4х)²

400=9х²+16х²

25х²=400

х²=16

х=4 см

но гораздо удобнее знать хотя бы несколько так называемых пифагоровых троек, к которым относится и египетский треугольник. 

 

 

Для решения рассмотрим рисунок по свойству высоты прямоугольного треугольника проведенной из вершины прямого угла, высота есть среднее пропорциональнее между проекциями катетов на гипотенузу.сд = √ад * вд.пусть длина высоты сд = х см, тогда, по условию, длина отрезка равна: вд = (х + 4).тогда: х = √(9 * (х + 4)) = √(9 * х + 36).возведем обе стороны равенства в квадрат.х2 = 9 * х + 36.х2 – 9 * х – 36 = 0.решим квадратное уравнение.d = b2 – 4 * a * c = (-9)2 – 4 * 1* (-36) = 81 + 144 = 225.х1 = (9 - √225) / (2 / 1) = (9 – 15) / 2 = -6 / 2 = -3. (не подходит, так как < 0).х2 = (9 + √225) / (2 / 1) = (9 + 15) / 2 = 24 / 2 = 12.сд = 12 см, тогда дв = 12 + 4 = 16 см.ав = ад + дв = 9 + 16 = 25 см.из прямоугольного треугольника асд определим гипотенузу ас.ас2 = сд2 + ад2 = 144 + 81 = 225.ас = 15 см.из прямоугольного треугольника авс, определим катет вс по теореме пифагора.вс2 = ав2 – ас2 = 625 – 225 = 400.вс = 20 см.ответ: ав = 25 см, вс = 20 см, ас = 15 см.