А)периметр прямокутного трикутника дорівнює 36 см, а різниця між катетами - 3 см. знайдіть гіпотенузу трикутника. б)бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 20 і 15 см. знайдіть катети трикутника.

А). х - один із катетів, звідси інший - х+3, звідси гіпотенуза становить 33-2х.     за т. піфагора: x^2+x^2+6x+9=1089-132x+4x^2                             -2х^2+138x-1080=0                               x^2-69x+540=0       x=60 - не задовільняе .               х=9 (см). - один із катетів.       звідси гипотенуза становить: 33-18=15 (см.) б). нехай один катет становить х см, а інший - у см.     звідси за властивістю бісектриси і теореми піфагора маємо систему рівнянь:     35^2=x^2+y^2     20/x=15/y           x=20y/15=4y/3           1225=16y^2/9+y^2       25y^2/9=1225       y=корінь із 1225*9/25=35*3/5=7*3=21 ( один із катетів.             х=4*21/3=4*7=28 (см.) - інший катет.

Обозначим: ё - данный нам угол (равен 60 градусов) о1 - центр первой окружности ( радиус р1=13) о2 - центр второй окружности (радиус р2) ж1 - точка касания первой окружности с лучом угла ё  (любым) ж2 - точка касания второй окружности с этим же лучом угла ё решение: 1)  треугольники ёо1ж1 и ёо2ж2 подобны ( прямоугольные: о1ж1  и о2ж2-радиусы к касательной, с общим углом ): р1: р2=ёо1: ёо2, откуда получаем  ёо2=ёо1*р2: р1 рассмотрим два варианта а)ёо2=ёо1+о1о2 (центр  второй окружность дальше от вершины угла, чем центр  первой) б)ёо2=ёо1-о1о2( то же самое только ближе) получаем: а)ёо2=ёо1+о1о2=ёо1*р2: р1⇒о1о2=ёо1*(р2: р1-1) б)ёо2=ёо1-о1о2=ёо1*р2: р1⇒о1о2=ёо1*(1-р2: р1) 2) из треугольника ёо1ж1 (прямоугольный, с острым углом 60/2=30 градусов): ёо1=2о1ж1=2р1 3) рассмотрим треугольник о2о1а: две стороны - радиусы окружностей р1 и р2 еще одна сторона о1о2, которую надо найти с другой стороны прямая содержащая о1о2 - средняя линия отрезка ав найдем площадь этого треугольника: площадь о2о1а=(1/2)(ав/2)о1о2 (половина произведения высоты и основания) а по формуле герона.. п-полупериметр=(р1+р2+о1о2)/2 площадь равна  √(п(п-р1)(п-р2)(п-о1о2)) получили: (ав*о1о2)/4=√(п(п-р1)(п-р2)(п-о1о2)) 4) объеденим результаты, и займемся обозначим, для удобства х=о1о2, у=р2 1)2)⇒ а) х=2*13(у/13-1)=2у-26 б) х=2*13(1-у/13)=26-2у 3)⇒ 10х=4√(п(п-р1)(п-р2)(п-о1о2)) 100х²=(13+х+у)(13+х-у)(13-х+у)(х+у-13) подставляем а) 100(2у-26)²=(13+2у-26+у)(13+2у-26-у)(13-2у+26+у)(2у-26+у-13) 400(у-13)²=(3у-13)(у-13)(39-у)(3у-39) 400=3(3у-13)(39-у) -9у²+390у-39²-400=0 у1=113/3, у2=17/3 второй нам не подходит, так как в п а) подразумеваели, что у=р2> р1=13 х=2*113/3-26=(113*2-26*3)/3=(226-78)/3=148/3=49+1/3 б) 100(26-2у)²=(13+26-2у+у)(13+26-2у-у)(13-26+2у+у)(26-2у+у-13) 100(26-2у)²=(39-у)(39-3у)(3у-13)(13-у) получили то же самое, но теперь нам у1 не подходит, а у2 подходит х=26-2*17/3=(26*3-2*17)/3=(78-34)/3=44/3=14+2/3 ответ:  

Вот если и я попробую  : )   ясно, что вариантов расположения второй окружности 2 - если центр её ближе к вершине угла и - если дальше, чем центр заданной окружности радиуса 13.  возможно, и ответ будет разный в каждом из этих случаев. в числах решать не интересно, так что я введу обозначения r = 13; радиус первой окружности, r - радиус второй окружности, m = 5; - половина общей хорды, k = sin(α/2); где  α  = 60°; (чтобы не "тянуть" синус в записи); и пусть b =  √(r^2 - m^2) = 12; если опустить из центров перпендикуляры к общей внешней  касательной (стороне заданного угла), и из центра меньшей окружности провести параллельную к этой касательной прямую, то из полученного треугольника следует  d*sin( α/2) = ir - ri; тут два варианта  d*k = r - r; то есть r = r - d*k;   если r> r; и d*k = r - r; то есть  r = r + d*k;   если r > r; это можно записать в виде r = r + d*k; если считать, что k принимает два  значения +sin(α/2) и -sin(α/2); кроме того, очевидно,  что  d =  √(r^2 - m^2) +  √(r^2 - m^2);   отсюда (d -  √(r^2 - m^2))^2 = r^2 - m^2; d^2 - 2*b*d + r^2 - m^2 = r^2 - m^2; d^2 - 2*b*d + r^2 - r^2 = 0; пока что я нигде знака не потерял.если теперь подставить r = r + d*k; то получится d^2 - 2*b*d + r^2 - r^2 - 2*r*k*d - k^2*d^2 = 0; d*(1 - k^2) = 2*(b + r*k); d = 2*(b + r*k)/(1 - k^2); конечно, в знаменателе получился квадрат косинуса 30°, равный 3/4. сама величина k может принимать два значения +1/2 (если центр второй  окружности  дальше от вершины угла)  и -1/2 (если центр второй окружности ближе к вершине угла, чем центр первой); соответственно,  будет два ответа. 1) d = 2*(12 + 13/2)*4/3 = 148/3; 2) d = 44/3;