Решить. в треугольнике авс на стороне вс выбрана точка м так, что вм: мс=1: 3. найти радиус окружности вписанной в треугольник амс, если ав=8, вм=5 √2, ас=4 √2.

Исправьте условие. если  вм=5√2, и  вм: мс=1: 3, то мс = 3*5√2 = 15√2. и вс =  5√2 +  15√2 = 20√2. если ас = 4√2, то ас + ав = 8 + 4√2 <   вс = 20√2, что невозможно, так как не соблюдается основное неравенство треугольника для авс.

пусть точка а находится внутри окружности, те расстояние от точки а до центра окружности меньше радиуса окружности.  и пусть через точку можно провести прямую так, чтобы она не являлась секущей, те имела с окружностью 1 или 0 точек пересечения. но о точек перес прямая иметь не может тк имеется одна точка, принадлежащая прямой и находящаяся внутри окружности. получаем 1 т перес. 1 т перес. с прямой это касательная, но касательная проходит через точку на окружности, следовательно та лежит на окружности, следовательно расстояние от а до центра = радиусу, что противоречит условию. имеем 2 т пересечения.

Обозначим треугольник авс, в котором ав=вс.  медианы - вн, ам.  о - точка пересечения медиан.  медианы точкой их пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины (свойство).   он=вн: 3, откуда вн=15 см расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного  перпендикулярно к ней.  проведем ок перпендикулярно вс. ок=8 см по условию.  он=5 см, он - перпендикулярно ас как высота равнобедренного треугольника.  прямоугольный ∆ овк - египетский, его катет вк=6 ( можно найти по т.пифагора с тем же результатом).  косинус  ∠ овк=вк: во=6/10 в ∆ внс косинус  ∠ нвс=6/10, отсюда  вс=вн: cos ∠ hbc bc=15: 0,6=25 см.  нс из ∆ внс ( египетский, подобен ∆ овн) катет нс=20 см, а так как нс=0,5 ас, то ас =40.  в ∆ авс стороны ав=вс=25 см, ас=40 см