На стороне oa угла aob отложены отрезки oa1=a1a2=a2a3=1 см, а на стороне ob- отрезки ob1 =b1b2=b2b3=3 см. докажите, что a1b1||a2b2||a3b3.

Oa1=1,oa2=1+1=2, oa3=1+2=3 ob1=3,ob2=3+3=6,ob3=3+6=9 oa1/oa2=1/2 u ob1/ob2=3/6=1/2 δa1ob1=δa2ob2- по 2-м пропорциональным сторонам и общему < 0⇒ ⇒< oa1b1=< oa2b2 u ,а они соответственные⇒a1b1||a2b2 oa1/oa3=1/3 u ob1/ob3=3/9=1/3 δa1ob1=δa3ob3- по 2-м пропорциональным сторонам и общему < 0⇒ ⇒< oa1b1=< oa3b3 u ,а они соответственные⇒a1b1||a3b3 a1b1||a2b2 и a1b1||a3b3⇒a2b2||a3b3

Решение вашего во вложении

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника. значит, четырехугольник, который она отсекает, является трапецией, ведь трапеция - четырехугольник, пара противоположных сторон которого параллельна (а другая пара, очевидно, не параллельна). осталось доказать, что площадь маленького треугольника равна 1/4 площади большого. тогда площадь трапеции равна 3/4 площади большого треугольника.  эти треугольники подобны по отношению двух сторон  и углу между ними, так как коэффициент подобия равен 1/2, площади треугольников относятся как 1: 4, что и требовалось.

Здесь нужно еще доказать некие факты , то что как будет располагаться квадрат, в зависимости от этого будет и изменятся площадь самого квадрата.     если сделать правильный эскиз по нашему условию , то откуда легко видеть то что квадрат будет наибольшим когда он располагается параллельна основанию треугольника а боковые стороны соответственно перпендикулярны стороне.   обозначим  сторону катета образованного боковой стороной квадрата относительно ее основанию, за  сторону квадрата , она же сторона отсеченной боковой стороны треугольника (выше большего основания) .    сторона треугольника правильного  .  тогда  удовлетворяет ему такое условие       тогда   площадь маленького подобного большему треугольнику равна       , и остались два маленьких прямоугольных треугольника их площади равны в сумме    тогда  откуда получаем систему    откуда периметр квадрата равен  нужно это отдельно доказать пользуясь   другими средствами , так как мы опирались на рисунок