Окружности радиусов 3 и 6 с центрами соответственно в точках и o1 и o2 касаются внешним образом в точке a. к окружностям проведены общая внешняя касательная и общая внутренняя касательная. эти касательные пересекаются в точке b, а l — общая точка внешней касательной и окружности радиуса 3. найдите r радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ablo2. в ответ записать r(корень из 2+1)

Bo2 - биссектриса угла abl, а bo1 - биссектриса его дополнительного угла, поэтому треугольник o1o2b - прямоугольный. ab в нем - высота к гипотенузе, и делит её на отрезки 3 и 6. поэтому ab^2 = 3*6 = 18; ab = 3 √2; дельтоид ablo1 "состоит" из двух одинаковых прямоугольных треугольников o1ab и o1lb, его  площадь s =  ab*o1b  = 9√2; а полупериметр p = 3(1  +  √2);   r = s/p =  9√2/(3 + 3√2) = 3√2/( √2 + 1);     что-то корни не особо сокращаются, между прочим.

пусть о₁ и о₂- проекции точки о на стороны ав и ас треугольника авс соответственно.

оо₁ и оо₂ перпендикулярны к ав и ас соответственно и параллельны высотам сн₁ и вн₂ к сторонам    ав и ас соответственно.

поскольку ов=ос, то  оо₁ и оо₂ средние линии треугольников  сн₁в и вн₂с соответственно и равны:

 

рассмотрим четырёхуголник ао₁оо₂:

углы о₁ и о₂ - прямые, угол а=60⁰, значит угол о=360-(90+90+60)=120⁰

по теореме косинусов находим о₁о₂:

ну и, как "лучшее решение" не забудь отметить, ;

а) поскольку  bp  =  bm,  cq  =  cm  и  ap  =  aq, то  ab  +  bc  +  ac  =  ab  + (bm  +  mc) +  ac  =  =  ab  + (bp  +  qc) +  ac  = (ab  +  bp) + (qc  +  ac) =  ap  +  aq  = 2ap  следовательно,  ap  =    =  p.  б)  bm  =  bp  =  ap  -  ab  =  p  -  ab  =  ck.  в)  pl  =  ap  -  al  =  p  - (p  -  bc) =  bc.