Площадь прямоугольного треугольника равна (578√3)\3. один из острых углов равен 30∘. найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Тангенс угла - это отношение противолежащего катета (а) к прилежащему (b). tq  30 град =  √3/3   (таблице), т.е. отношение а/b=√3/3, или a=b√3/3. площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле   s= , подставим известные величины умножим обе части на 2 и разделим обе части на  √3/3. получим уравнение b²=1156   отсюда b=34 ответ: прилежащий к углу 30 градусов  катет =34. 

Теорема.  биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.         доказательство. продолжим сторону  ac  треугольника  abc, изображенного на рисунке 1, за точкуa. проведем через точку  b  прямую,  параллельную  биссектрисе  ad. обозначим точку пересечения построенных прямых буквой  e  (рис. 2).рис.2       докажем, что отрезки  ab  и  ae  равны. для этого заметим, что угол  eba  равен углу  bad, поскольку эти углы являются  внутренними накрест лежащими  при параллельных прямых  eb  и  ad. заметим также, что угол  bea  равен углу  dac, поскольку эти углы являются  соответственными  при параллельных прямых  eb  и  ad. таким образом, угол  eba  равен углу  bea,  откуда вытекает, что треугольник  eabявляется равнобедренным, и отрезки  ab  и  ae  равны.       отсюда, воспользовавшись  теоремой фалеса, получаем: что и требовалось доказать.

трапеция авсд, угола=уголв=90, вс=6, см=мд, ан=нд, мн=корень18=3*корень2, треугольник асд, мн-средняя линия треугольника=1/2ас, ас=2*мн=2*3*корень2=6*корень2, до-перпендикуляр на ас -расстояние от д до ас,

треугольник авс прямоугольный, ав=корень(ас в квадрате-вс в квадрате)=корень(72-36)=6, треугольник авс равнобедренный, ава=вс=6, уголвас=уголвса=90/2=45, уголсад=90-уголвас=90-45=45,

треугольник аод прямоугольный равнобедренный, уголадо=90-уголсад=90-45=45, ао=до=х, со=ас-ао=6*корень2-х, треугольник дос прямоугольный, со=до/tg асд=х/2, 6*корень2-х=х/2, 12*корень2-2х=х, х=4*корень2=до