Периметр параллелограмма abcd равен 42 см, ab=14см. какую сторону abcd пересекает биссектриса угла a? найдите длины отрезков, образованных при этом пересечении.

теорема. если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. доказательство. пусть точки a1, a2, a3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. а точки b1, b2, b3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. докажем, что если a1a2 = a2a3, то b1b2=b2b3. проведем через точку в2 прямую с1с2, параллельную прямой a1a2. получаем параллелограммы a1c1ba2 и a2b2c2a3. по свойствам параллелограмма, a1a2 = c1b2 и a2a3 = b2c2. так как a1a2 = a2a3, то c1b2 = b2c2. δ c1b2b1 = δ c2b2b3 по второму признаку равенства треугольников (c1b2 = b2c2, ∠ c1b2b1 = ∠ c2b2b3, как вертикальные, ∠ b1c1b2 = ∠ = b3c2b2, как внутренние накрест лежащие при прямых b1c1 и c2b3 и секущей с1с2). из равенства треугольников следует, что b1b2=b2b3. теорема доказана.

отложим эти точки на координатной плоскости и докажем, что abcd - ромб

точка пересечения ac и bd == о

из рисунка следует, что диагонали ас и bd перпендикулярны. если такой тип решения не подходит, можно сказать, что координаты иксов точек b, d равны и координаты игриков   а, с равны, => они находятся на двух перпендикулярных прямых

треугольники abo, boc, cod, doa равны по двум катетам, => их гипотенузы тоже равны. 

следовательно, abcd - ромб, т.к. все его стороны равны, а диагонали перпендикулярны